专题09 压轴题中探究相似三角形的存在性问题-2022年中考数学相似三角形梯级提分精练（全国通用）

专题09 压轴题中探究相似三角形的存在性问题 【考情说明】 在中考压轴题中，函数中的相似三角形存在性问题是常考题型，在解答此类问题时，常设出三角形各顶点的坐标，表示出三角形各边的长度，再利用相似三角形的对应边成比例，列出方程，解出未知数即可。 【例题透析】 例1.（2021·湖南宁乡·九年级期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，抛物线 经过点 ，且与直线 的另一个交点为 ． （1）求 的值和抛物线的解析式； （2）已知点 是抛物线上位于 之间的一动点（不与点 重合），设点 的横坐标为 当 为何值时，∆ 的面积最大，并求出其最大值； （3）在 轴上是否存在点 ，使以点 为顶点的三角形与∆ 相似？若存在，直接写出点 的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由． 例2.（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）如图，已知抛物线 经过两点 ， ， 是抛物线与 轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）点 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线 与 轴交于点 ，当 时，求此时 点坐标； （3）点 在抛物线上运动，点 在 轴上运动，是否存在点 、点 使得 ，且 与 相似，如果存在，请求出点 和点 的坐标． 【挑战压轴】 1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的表达式． （2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值． （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，问是否存在点P，使得以M，P，Q为顶点的三角形与△CBO相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．平面直角坐标系中，A（0，8），B（6，0），C（－1，0），点E为线段AB的中点，过点E作直线ED平行于x轴交线段AC于点D，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度运动，过点Q作QP⊥直线DE，垂足为P，过E、P、Q三点作圆，交线段AB于点N，连接QN、PN，设点Q运动的时间为t秒． （1）求经过A、B、C三点的抛物线表达式； （2）当△PQN与△ABC相似时，求t的值； （3）当△EPQ的外接圆与线段AO有公共点时，求t的取值范围． 3．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交边AB于M，交边AD于N． （1）若BE＝ ，求这时AM的长； （2）点E在边BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）连结DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由． 4．（2021·湖南·衡阳市实验中学九年级期中）如图，已知△ABC中， ， ，动点 沿 方向从点C向点 运动，同时，动点 沿 方向从点 向点 运动，速度都为每秒1个单位长度， ， 中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动，过点 作 // ，交 边于点 ，连结 ，设 ， 的运动时间为 ． （1）直接写出 的长；（用含 的代数式表示） （2）若 ，求当 为何值时， 与 相似． 5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为(1，4)． （1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标； （2）求⊙M的半径和圆心M的坐标； （3）如图2，在x轴上有点P(7，0)，试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2021·四川·成都实外九年级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），点B在线段AO上，且AB＝2BO，若点P在x轴的负半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB． （1）如图1，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C． ①求点B的坐标；②求证：△BOP∽△PCE． （2）在（1）的条件下，如图2，若点C坐标为（﹣4，0）．过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，若点C关于直线PQ的对称点C′正好落在线段AD上，连接PC′，求点P的坐标． （3）如图3，若∠BPO＝60°，点E在直线PQ上，EC⊥x轴，垂足为点C，若以点E，P，C为顶点的三角形和△BPE相似，请直接写出点E的坐标． 7．（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）如图，已知抛物线 交 轴于点 ，与直线 交于点 （非原点），过点 作BC∥x轴交抛物线于点 ， ． （1）求 的值． （2）若 是线段 上一点，过点