假期作业(三) 函数的单调性与最值-2022老教材高一数学寒假作业【高考解码·过好假期每一天】

假期作业(三)　函数的单调性与最值 【知识回顾】 1．任意　f(x1)＜f(x2)　f(x1)＞f(x2)　增　减 2．增函数或减函数　单调区间 3．≤　≥　f(x0)＝M　纵坐标　纵坐标 【综合训练】 1．B　对于A，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B，y＝2x－1在R上单调递增；对于C，y＝1－2x在R上单调递减；对于D，y＝(2x－1)2在上单调递减，在上单调递增．故选B. 2．C　因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，无法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a2－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，也无法比较f(a2)与f(a)的大小，故B错；又因为a2＋1－a＝＋＞0，所以a2＋1＞a.又f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f(a2＋1)＜f(a)，故C对；易知D错．故选C. 3．C　令f(x)＝－x2＋2x， 则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1. 又∵x∈[0，2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0， ∴a<0. 4．A　对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)<f(2)<f(1).故选A. 5．C　设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，∴当x＝9或10时，L最大为120万元． 6．D　f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3， ∴1≤m≤2，故选D. 7．1　函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a， x∈[0，1]，且函数有最小值－2. 故当x＝0时，函数有最小值， 当x＝1时，函数有最大值． ∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2， ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1. 8．－4　∵在区间上是减函数，－3x在区间上是减函数， ∴函数f(x)＝－3x在区间上是减函数， ∴f(x)max＝f(2)＝－3×2＝－4. 9．(0，2]　依题意得实数a满足解得0<a≤2. 10．[证明]　f(x)＝2＋， 设x1>x2>1， 则f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为x1>x2>1， 所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0， 所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数． 11．[解]　(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3， ∴当2a－1≤0，即a≤时，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6； 当0＜2a－1＜2，即<a<时，f(x)min＝f(2)＝－3. 所以g(a)＝ (2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增， ∴g(a)≤g＝－3；又当<a<时，g(a)＝－3， ∴g(a)的最大值为－3. $ 假期作业(三)　函数的单调性与最值 　 1．增函数与减函数的定义 条件,一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的________两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有__________,都有__________结论,那么就说函数f(x)在区间D上是______函数,那么就说函数f(x)在区间D上是____函数图示,,2.函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的__________． 3．函数最大值与最小值 ,最大值,最小值条件,设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)______M,f(x)______M存在x0∈I，使得________结论,M是函数y＝f(x)的最大值,M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义,f(x)图象上最高点的________,f(x)图象上最低点的_______ 【例】　已知函数f(x)＝. (1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值． 【解】　(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为－1<x1<x2⇒x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(2)＝＝， 最大值f(4)＝＝. 【名师点睛】　1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性．