专题06 解三角形中的最值与范围问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题06 解三角形中的最值与范围问题 类型一 正余弦定理结合基本不等式求解 典例1.在△ABC中，A＝60°，BC＝3，则△ABC的两边和AC+AB的取值范围是（　　） A．[3，6] B．（2，4） C．（3，4] D．（3，6] 【分析】直接利用余弦定理的三角形的三边关系式求出结果． 【解答】解：△ABC中，A＝60°，BC＝3， 所以：BC2＝AC2+AB2﹣2AB•ACcos60°＝AC2+AB2﹣AB•AC， 由于：， 则：， 整理得：﹣6≤AB+AC≤6， 由于：AB+AC＞3， 故：3＜AB+AC≤6， 故选：D． 典例2.（2021•海淀区校级模拟）在△ABC中a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a+c＝2b，则角B的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用余弦定理、基本不等式的性质、三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：cosB 当且仅当a＝c＝b，即△ABC为等边三角形时，cosB． 又∵0＜B＜π，∴B． 故选：D． 类型二 利用正弦定理边化角，利用角的关系消元，结合辅助角公式求范围 典例1.（2021•金安区校级模拟）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，求b+c的取值范围（　　） A．（1，） B．（，2] C．（1，2） D．（1，2] 【分析】结合正弦定理可得：b+c＝2 sin（B），借助于B的范围，故有sin（B）∈（ ，1]，从而可求b+c． 【解答】解：∵， 由正弦定理得：∵bsinB，csinC， 又由A知：B+C∴CB ∴b+csinBsinC[sinB+sin（ B）]（sinBsinB）＝2 sin（B）， ∵A， ∴B∈（0，）， ∴B∈（ ，）， ∴sin（B）∈（ ，1]， ∴b+c∈（ 1，2]． 故选：D． 典例2.（2019春•高邮市期中）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝c2+ac，则的取值范围是（　　） A．（，2） B．（1，2） C．（，2） D．（，） 【分析】由题意利用余弦定理可得c＝a+2a•cosB，再利用正弦定理可得B＝2A，可求2cosC，进而求出C的范围，可得取值范围． 【解答】解：锐角△ABC中，∵b2＝c2+ac，故由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac•cosB， ∴c2+ac＝a2+c2﹣2ac•cosB， ∴a2＝ac+2ac•cosB，即a＝c+2c•cosB， ∴利用正弦定理可得：sinA＝sinC+2sinCcosB， 即sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB＝sinC+2sinCcosB， ∴sinBcosC＝sinC+sinCcosB， 可得：sin（B﹣C）＝sinC， ∴可得：B﹣C＝C，或B﹣C+C＝π（舍去）， ∴B＝2C， ∴2cosC， 又∵A+B+C＝π，A，B，C均为锐角，由于：3C+A＝π， ∴0＜2C，0＜C． 再根据 3C，可得C， ∴C，可得，2cosC， 故的取值范围是为：（，）． 故选：D． 牛刀小试 一．选择题（共8小题） 1．（2021•赤峰模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，则b2+c2的取值范围是（　　） A．（20，24] B．（10，12] C．[10，12] D．（5，6] 【分析】首先利用正弦定理和余弦定理的应用求出A的值，进一步利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式，变形成余弦型函数，进一步利用性质求出结果． 【解答】解：锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， 所以：， 整理得：a2﹣b2＝c2﹣bc， 所以：， 由于：0＜A＜π， 所以：A， 又， 利用正弦定理：， 解得：b＝4sinB，c＝4sinC， 所以：b2+c2， 所以：b2+c2＝16（sin2B+sin2C）， ＝16（）， ＝16（1）， 由于60°＜B＜90°， 故：120°＜2B＜180°， 所以：， 所以：20＜b2+c2≤24． 故选：A． 2．（2021•安庆二模）在锐角△ABC中，A＝2B，则的取值范围是（　　） A．（﹣1，3） B．（1，3） C． D．（1，2） 【分析】确定B的范围，利用正弦定理化简表达式，求出范围即可． 【解答】解：在锐角△ABC中，∠A＝2∠B，∠B∈（30°，45°）， cosB∈（ ，），cos2B∈（ ，）， 所以由正弦定理可知： ＝3﹣4sin2B＝4cos2B﹣1∈（ 1，2）， 故选：D． 3．（2021春•孝感期末）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2+c2﹣b2＝ac，，，则a+c的取值范围是（　　） A．（2，3） B． C．（1，3） D．（1，3] 【分析】根据a2+c2﹣b2＝ac，代入