解密09 数列前n项和及其应用（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密09 数列的前n项和及其应用 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 数列求和 从近三年高考情况来看，数列求和及其应用一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减法求和、裂项相消法求和及拆项分组法求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多以解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. 2021年全国甲7 2020新课标全国Ⅲ 17 2020新课标全国Ⅰ 17 2018新课标全国Ⅰ 14 ★★★★ 数列的综合应用 2021全国Ⅰ 17 2021新课标全国II 12 2021新课标全国II 17 2021年全国甲18 2020新课标全国Ⅱ 12 2019新课标全国Ⅱ 19 2018新课标全国II 17 ★★★★ 考点一 公式法求和 ☆技巧点拨☆ 1．两组求和公式 (1)等差数列： ； (2)等比数列： ． 2．在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量． 注：在运用等比数列前n项和公式时，一定要注意判断公比q是否为1，切忌盲目套用公式导致失误． 例题1．已知各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ） A．255 B．127 C．63 D．31 【答案】A 【分析】因为 ， ，公比 ，所以 ， ，解得 ， ，则 故选：A 例题2．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】因为 ， 所以当 时， ，当 时 ， 又 适合上式，所以 ，所以当 时， 取得最小值1，故选：A. 例题3．已知 是首项为2的等比数列， 是其前n项和，且 ，则数列 前20项和为（ ） A．﹣360 B．﹣380 C．360 D．380 【答案】A 【分析】根据题意 ，所以 ， 从而有 ，所以 ，所以数列 的前20项和等于 故选： . 例题4．已知各项均为正数的数列 的前n项和为 ， 的前n项和为 ，若对任意的正整数n，都有 ，则 （ ） A． B．n C． D． 【答案】B 【分析】由 可得 ，两式作差得 ， 即 ，因为 ， 所以 ， ， 两式作差得 ，即 EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， ， ，故 ， 当 时， ， ，由 得 ，解得 ， 所以 ，所以 的通项公式为 . 故选：B 例题5．已知数列{an}的前n项和 ，则下列结论正确的是（ ） A．数列{an}是等差数列 B．数列{an}是递增数列 C．a1，a5，a9成等差数列 D．S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9成等差数列 【答案】D 【分析】 ∴n≥2时， 时， ．n＝1时，不满足 ∴数列{an}不是等差数列． ,因此数列{an}不是单调递增数列． ，因此a1，a5，a9不成等差数列． EMBED Equation.DSMT4 ． ． ∴ 成等差数列．故选：D 考点二 错位相减法求和 ☆技巧点拨☆ 差比数列 ，则其前 项和 ,其中： ，可直接代换，也可以利用错位相减的基本运算进行步骤的运算 例题1．已知数列 中， . （1）求 的通项公式； （2）设 ，求 . 【答案】 （1） （2） 【分析】解：由题意， ，又 ， 所以 ， 所以 . （2）解：由（1）可得 ，所以 ， 记 ，则 由 得 由 得 ， 故 . 例题2．已知正项数列 的前 项和为 ，且 是 与 的等比中项. （1）求 的通项公式； （2）设 ，数列 的前n项和为 ，若对于任意 ，均有 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】 （1） ；（2） . 【分析】（1）因为 是 与 的等比中项，所以 ，即 ， 当 时， ，因为 ，所以 ， 当 时， ， 所以 ，整理可得： ， 因为 ，所以 ， 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ， 所以 的通项公式为 . （2）由（1）知 ，所以 ， 所以 ， ， 所以 ， 所以 . 所以 即 ， 即 对于任意 恒成立， 设 ， 则 ， 当 时， ；当 时， ， 所以 ，所以 . 所以实数 的取值范围为 . 例题3．已知数列 满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）已知数列 的前n项和为 ，求 . 【答案】 （1） （2） 【分析】若 ，则 ，这与 矛盾， ，由已知得 ， ，故数列 是以 为首项，2为公差的等差数列， ，即 . （2）设 ，则由（1）知 ， 所以 ， ， 两式相减，则 ， 所以 . 例题4．设 为正项数列 的前 项和， ，且满足 ， ， 成等差数列. （1）求 的通项公式； （2）求