专题08 压轴题中利用相似三角形探究线段的数量关系-2022年中考数学相似三角形梯级提分精练（全国通用）

专题08 压轴题中利用相似三角形探究线段的数量关系 【考情说明】 在历年的中考压轴题中，常利用相似三角形的性质，证明线段相等，解题中常需要做辅助线，构造相似三角形的常见模型，通过证明三角形相似，得到有关线段的比例式，再利用比例的基本性质，对比例式进行转化，再次证明三角形相似，从而得到所需条件或结论。 【例题透析】 例1.（2021·四川简阳·九年级期中）如图1，在 中， ， 为 边上一点， ， 为线段 上一点， ． （1）求证： ； （2）过点 作 交 的延长线于点 ，试探索 与 的数量关系； （3）如图2，若 ， ，求 的长． 例2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．点P从点B出发沿线段BA以每秒3个单位的速度向终点A运动，过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点A与MN在PQ的同侧，设点P的运动时间为t秒． （1）PQ的长为　 　．（用含t的代数式表示） （2）当点M落在边AC上时，求t的值． （3）设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式． （4）当NQ所在直线经过△ABC一边的中点时，直接写出t的值． 【挑战压轴】 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4． 点P从点A出发，沿折线AC—CB运动，在边AC上以每秒3个单位的速度运动，在边CB上以每秒4个单位的速度向终点B运动．当点P与△ABC的顶点不重合时，过点P作其所在直角边的垂线，交边AB于点Q，以PQ为底边作等腰三角形△PQD，使PD AB． 设点P的运动时间t s，△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S． （1）直接写出AB的长． （2）用含t的代数式表示PQ． （3）当点P在AC上时，求S与t的函数关系式． （4）当△ABC的一条直角边平分△PDQ的腰时，直接写出t 的值． 2．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题： (1)如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由； (2)如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由； (3)如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由． 3．有一边是另一边的 倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角． （1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为 ，则该智慧三角形的面积为 ； （2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形； （3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数 上（ ）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为 ．当△ABC是直角三角形时，求k的值． 4．（2021·山东·东营市东营区实验中学九年级期中）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：当 α＝0°时， 的值为　 　； （2）拓展探究：当0°≤ α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出 的值； （3）问题解决：当△EDC旋转至A，B，E三点共线时，若设CE＝10，AC＝8，直接写出线段BE的长． 5．（2021·四川·北师大锦江区海威教育培训中心九年级期中）如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B′． （1）如图1，若点E为线段BC的中点，延长AB′交CD于点M，求证：AM＝FM； （2）如图2，若点B′恰好落在对角线AC上，求 的值； （3）若 ，延长AB′交CD于点M，求 的值． 6．综合与实践 在△ABC中，BD⊥AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段PA绕点P顺时针方向旋转α，α=∠ABC，得到PE，连接CE． （1）如图1，当BA=BC，且∠ABC=60°时，BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 （2）如图2，当BA=BC，且∠ABC=90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理） （3）在（2）的条件下，若AB