第一章 5.1 直接法-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

5.1 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程。当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 利用直接法求轨迹方程的方法及注意点： ⑴利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简； ⑵运用直接法应注意的问题： ①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的； ②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略。 【例1】已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且，则动点的轨迹方程为(　　) 【答案】 【解析】设点，则，，，即，整理得，动点的轨迹方程为。 【例2】已知动点与两定点连线的斜率之积等于常数，则动点的轨迹的方程为__________． 【答案】 【解析】由题设知，直线与的斜率存在且均不为零，，整理得，即动点的轨迹的方程为。 【例3】设一动点到直线的距离到它到点的距离之比为，则动点的轨迹方程是（ ） 【答案】 【解析】设，， ，两边平方得，整理得，即，。 【例4】已知两定点的坐标分别为，动点满足条件，则动点的轨迹方程为___________ 【分析】通过作图可得等价的条件为直线的斜率的关系，设，则，则可通过的斜率关系得到动点的方程。 【答案】或 【解析】若在轴上方，则，，，，代入可得 ，化简可得，即。 ①若在轴下方，则，，同理可得，；当时，即为等腰直角三角形，或满足上述方程；当在一四象限时，轨迹方程为； ②当在线段上时，同样满足，线段的方程也为的轨迹方程。 综上所述，的轨迹方程为或。 【例5】已知直角坐标平面上点和圆，动点到圆的切线长与的比等于常数，求动点的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】设，直线切圆于，则有，即， ，整理得。 ①若，方程化为，它表示过点和轴垂直的一条直线； ②若，方程化为， 它表示以为圆心，为半径的圆． 【例6】设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足。 ⑴求点的轨迹方程； ⑵设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过的左焦点。 【解析】⑴设，，，，，，在曲线上，，点的轨迹方程为。 ⑵由题意知，。设,，则，，，，。由得，又由⑴知，故，，即。又过点存在唯一直线垂直于，过点且垂直于的直线过的左焦点。 $