第一章 4.2 圆锥曲线第三定义及其应用-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

4.2 圆锥曲线的第三定义及其应用 一、圆中的垂径定理 （问题背景：直线斜率存在） 图1 图2 图3 ⑴如图 ，在圆 中， 为弦 中点，则 ，即 ； ⑵如图 ，在圆 中， 与圆 相切于 点，则 ，即 ； （若切点坐标为 ，可得切线 方程： ） ⑶如图 ， 为圆 直径， 圆上异于 两点的动点，则 ，即 。 二、圆锥曲线中的垂径定理 （问题情景假设：假设下列问题讨论所涉及的直线斜率都存在情况下） 1.椭圆中的垂径定理 （以焦点在 轴的椭圆方程 为例） 图1 图2 图3 ⑴如图 ，在椭圆 中， 为弦 的中点，则 ; 【证明】设 ，则 ， ， ， ， 。 ⑵如图 ，在椭圆 中， 与椭圆相切于 点，则 ; （证明：法一：极限思想，当 无穷接近 点；法二：换元法变换为 证明即可；法三：导数） ⑶如图 , 过中心 ,交椭圆于 两点, 是椭圆上异于 点的动点则 . ★注意：若焦点在 轴上的椭圆方程 ，则上面结论变为 ，即 EMBED Equation.DSMT4 。 2.双曲线中的垂径定理 （以焦点在 轴的双曲线方程 为例） 图1 图2 图3 图4 图5 ⑴如图 或图 ， 为弦 的中点，则 ; 【证明】设 ，则 ， ， ， ， 。 ⑵如图 ，直线 与双曲线相切于 点，则 ; ⑶如图 ，过 点的 交双曲线于 两点， 是双曲线上异于 点的动点,则 ； ⑷如图 ，直线 交上双曲线两渐近线于 两点， 为线段 的中点，则 ； ★★注意：若焦点在 轴上的双曲线方程 ，则上面斜率乘积结论变为： ， 即 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 。 三、圆锥曲线的第三定义（仅限椭圆和双曲线） 平面内的动点到两定点 （或 ）的斜率乘积等于常数 的点的轨迹叫做椭圆或双曲线。其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点，当常数大于 小于 时为椭圆;当常数大于 时为双曲线。 四、与第三定义有关的常用结论 【推论1】若 为椭圆或双曲线的顶点， 是椭圆或双曲线上异于 的一点，若 存在，则 。 【证明】（以椭圆 为例） 如图，在椭圆 中， 是椭圆的左右顶点， 是椭圆上异于 的一点. EMBED Equation.DSMT4 在椭圆上， ，两式相减得 ，即 ，取 中点 ,连接 ，则 , ，由 知， 【推论2】在椭圆 中， 是关于原点对称的两点， 是椭圆上异于 的一点，若 存在，则有 . 【证明】如图， 设 ， ，则 ，则 ,两式作差得到 , , 取 中点 ,连接 ，则 , 由 知， 特别说明： ①取 中点 时， ， ; ②若焦点在 轴上椭圆 ，则 ; ③椭圆变为圆时， ，此时可以认为 ，即为圆的垂径定理。 【推论3】在双曲线 中， 是关于原点对称的两点， 是双曲线上异于 的一点，若 存在，则有 . 【证明】只需将椭圆中的 全部换成 就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。 特别说明： ①取 中点 时， ， ; ②若焦点在 轴上双曲线 ，则 . 【推论4】已知 为椭圆或双曲线上任意两点， 是 的中点，则 。 【推论5】直线 与椭圆相切于点 ,连接 ，则 【题型1】直接秒杀离心率的问题 【例1】过点 作斜率为 的直线与椭圆 （ ）相交于 两点，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率等于 【答案】 【解析】法一：设 ，则 ， 过点 作斜率为 的直线与椭圆 （ ）相交于 两点， 是线段 的中点， 两式相减可得 ， , , . 法二：由垂径定理得 ， ，解得 ， ， 。 【例2】己知斜率为 的直线 与双曲线 相交于 两点，且 的中点为 ，则双曲线 的离心率为 【答案】 【解析】法一：由题设知， 的方程为 ，联立 ，化简得 ，设 则 ①，由 为 的中点知 ，故 即 ②，故 EMBED Equation.DSMT4 的离心率 法二：由垂径定理可得 ，即 ， 。 【例3】设 分别为椭圆 的左、右顶点,若在椭圆上存在点 ,使得 ,则该椭圆的离心率的取值范围是(　　) 【答案】 【解析】由垂径定理可知， ，解得 ，故选 。 【例4】已知 为椭圆 的左右顶点， 为椭圆上异于 的点， 的斜率分别为 ，且 ，则该椭圆的离心率为 【答案】 【解析】由垂径定理可知， ，解得 ， 。 【例5】已知 是双曲线 的两个顶点， 是双