第一章 4.1 圆锥曲线第二定义及其应用-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

4.1 圆锥曲线第二定义及其应用 一、椭圆的第二定义及其推导过程 1.定义:当点 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 时,这个点的轨迹是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数 是椭圆的离心率. 2.推导过程: 【探究1】点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ,求点 的轨迹. 【解析】设 是点 到直线 的距离,所求轨迹就是集合 ， ，将上式两边平方,并化简,得 .设 ,就可化成 .这是椭圆的标准方程,所以点M的轨迹是长轴长为 ,短轴长为 的椭圆. 二、双曲线的第二定义及其推导过程 1.定义:当点 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 时,这个点的轨迹是双曲线圆.一般称之为双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数 是双曲线的离心率. 2.推导过程: 【探究2】点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ,求点 的轨迹. 【解析】设 是点 到直线 的距离，所求轨迹就是集合 ， ,化简,得 .设 ,就可化为 ,这是双曲线的标准方程,所以点 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为 的双曲线(如图1). 对于双曲线 ,相应于焦点 的准线方程是 ,根据双曲线的对称性,相应于焦点 的准线方程是 ,所以双曲线有两条准线. 三、几点说明: 1.圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点F和到一条定直线 (F不在 上)的距离之比等于常数 的点的轨迹: 时, 它表示椭圆； 时, 它表示双曲线； 时, 它表示抛物线,这里 为离心率, 为焦点, 为准线； 2.第二定义中的定直线是任意直线,定点也是任意的(不在定直线上),这样得到的圆锥曲线方程不一定是标准形式； 3.应用圆锥的第二定义要把握两个关键点:①必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比；②必须是焦点距与对应准线距的比. 【题型1】第二定义的直接应用与求焦点弦长. 【例1】⑴椭圆 上有一点 ,它到椭圆的左准线的距离等于 ,则点 到它的右焦点的距离为　　　　　　　　； ⑵过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 , ，若 ,则 的长为　　　　　　　。 ⑶如果双曲线 上一点 到它的右焦点的距离是 ,那么 到它的右准线距离是　　　　. 【解析】⑴ , ， 。设 点到椭圆左 焦点的距离为 ,由椭圆的第二定义有 ，解得 ， 点 到椭圆右焦点距离为 . ⑵设 的中点为 ,点 在抛物线准线 上的射影分别为 .由第二定义知: . ⑶由题可知， ， ， ， ，设点 到右准线的距离为 ，利用双曲线的第二定义知， ， 到右准线的距离为 。 【题型2】求离心率及其取值范围. 【例2】设椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ,若过 且垂直于 轴的弦的长度等于 到准线 的距离,求椭圆的离心率. 【解析】如图, 是过 垂直于 轴的弦, 为 到准线 的距离, 于D,则 ,由 题意知 ，由椭圆的第二定义知: 。 【例3】已知椭圆 , 分别是左、右焦点,若椭圆上存在点 ,使 ,则椭圆的离心率 的取值范围为 . 【答案】 【解析】设点 ,则由第二定义得 , . 为直角三角形,所以 .即 ， 解得 ,由椭圆方程中 的范围知 ， ,解得 . 【题型3】求点的坐标或焦半径 【例4】双曲线 的右支上一点 ,到左焦点 与到右焦点 的距离之比为 ,求点 的坐标. 【解析】设点 ( ),双曲线的左准线为 ,右准线为 ,则点 到 的距 离分别为 ， ,解得 ，将其代入原方程,得 ， 点 的坐标为 . 【例5】点 在椭圆 + =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 的横坐标是_____ 【答案】 【解析】由题可知， ， ， ， 。设 ， ，设 到椭圆左 准线距离为 ， 到椭圆右准线距离为 ，由椭圆第二定义可知， ， ， ，易得 ，又 两条准线间的距离 ， ， ，解得 。 【例6】椭圆 上一点到右准线的距离是 ,则该点到椭圆左焦点的距离为　　　　　　. 【答案】 【解析】设该椭圆的的左右焦点分别是 ,该椭圆的离心率为 ,由圆锥曲线的统一定义可知, ， ，即该点到椭圆左焦点的距离为 . 【例7】椭圆 的两个焦点为 ,过 作垂直于 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 ,则 【解析】法一:如图， 设椭圆的右焦点为 ,左焦点为 ,过 垂直于 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为 . , 。 ，设 ，代入 ，解得 。 ， ，又 ， 。 法二:椭圆的左准线方程为 ， ， 。 法三:由解法一得 ，又 ， 【题型4】利用第二定义求最值 【例8】已知点 ,设点 为椭圆 的右焦点,点 为椭圆上一动点,求 的最小值,并求此时点 的坐标. 【解析】如图, 过点 作右准线 的垂线,垂足为 ,与椭圆交于点 . 椭圆的离心率 ， 由第二定义得 ， 的最小值为