第一章 3.3 双曲线中焦点三角形问题-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

3.3 双曲线中焦点三角形问题 【性质1】设双曲线方程为,分别为它的左右焦点，为双曲线上异于实轴端点的任意一点，若，则。特别地，当时，有。 【证明】记，由双曲线的第一定义得：,, 在中，由余弦定理得,配方得：，即,由任意三角形的面积公式得： ,. 【性质2】设点是双曲线（）上异于实轴端点的任一点,为其焦点记，则. 【性质3】已知双曲线 ()，其焦点为，过作直线交双曲线同一支于两点，且，则的周长是 【证明】由双曲线的定义知，①,②,又③,由①②③得,故的周长为. 【性质4】双曲线焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个。 【性质5】已知双曲线方程为两焦点分别为设焦点三角形，则双曲线的离心率。 【证明】 由正弦定理得，由等比定理得,，。 【例1】设为双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且满足，则的面积为 【答案】 【解析】由题可知，的面积为。 【例2】设是双曲线上的点，、是焦点，双曲线的离心率是，且，的面积是，则（ ） 【答案】 【解析】离心率为，又焦点三角形面积，又，解得，故，故选. 【例3】已知、为双曲线:的左、右焦点,点在上,,则 ( ) 　　　 　 　 　　 　 【答案】 【解析】，解得，选。 【例4】双曲线的两个焦点为,点在双曲线上,若,则点到轴的距离为 【答案】 【解析】，解得。 【例5】设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若，则的面积为 ( 　 　) 【答案】 【解析】设，则，由双曲线的定义得：，，，,由勾股定理得为焦点直角三角形，，选。 【例6】已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ） 【答案】 【解析】法一：设点，则①，又，②，由①②可得，即，，故选； 法二：不妨设为双曲线的右焦点，左焦点设为，由可知，为直角三角形，且，利用双曲线焦点三角形面积公式，解得，故选。 【例7】已知是双曲线上的一点,是的两个焦点,若,则的取值范围是 ( ) 【答案】 【解析】法一：数量积：易知，， ，在双曲线上， ，即，，。 法二：当时，，解得，，夫妻图像可知，，故选。 【例8】设分别是双曲线的左、右焦点,若点在双曲线上,且,则 ( ) 【答案】 【解析】由向量中线定理得：=，选。 【例9】已知双曲线的左,右焦点分别为,为的右支上一点,且,则的面积等于 ( ) 　　 　　 　 【答案】 【解析】，由双曲线定义得，是等腰三角形，底边上的高为， ，选。 【例10】设双曲线的左、右焦点分别为,.若点在双曲线上,且为锐角三角形,则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】法一：如图， 由已知可得，，由对称性，不妨设点在双曲线右支上，设，则，为锐角三角形，结合实际意义需要满足，解得， 又。 法二：极限思想 当顶角为直角时，=，当底角为直角时，，的取值范围是。 【例11】已知双曲线的两个焦点为，是此双曲线上的一点，若，，则双曲线的方程为（ ） 【答案】 【解析】设，则， 又，，，故选. 【例12】设是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ） 【答案】 【解析】由双曲线焦点三角形的面积公式有，得，故. 故渐近线的斜率，故双曲线的两条渐近线倾斜角分别为与，故双曲线的两条渐近线的夹角为，故选。 【例13】双曲线的左、右焦点分别为、，点在上且，为坐标原点，则 【答案】 【解析】设点，，则，，，又， ，如下图， 过点作轴垂线，垂足为，则有，，即， ，代入得， 。 【例14】已知点是双曲线的左焦点，为右支上一点.以的实轴为直径的圆与线段交于，两点，且，是线段的三等分点，则的渐近线方程为（ ） 【解析】设双曲线右焦点为，取中点，连接 设，由双曲线定义知：，，且，，又，为中点，又为中点，且，，解得，，， ，又双曲线焦点三角形面积， ，，双曲线渐近线方程为，故选。 【例15】已知是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） 【答案】 【解析】法一：如图所示， 易知，，设中点为，则，点在双曲线上，，即，，解得； 法二：如图所示， 设中点为，易知，，点在双曲线上，，即，解得； 法三：如图所示， 易知，则。 $