第一章 2.4 椭圆中焦点三角形问题-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

2.4 椭圆中焦点三角形问题 一、椭圆的焦点三角形定义 椭圆上任意一点与两焦点、构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形。 二、椭圆焦点三角形的性质 【性质1】椭圆焦点三角形周长为定值； 【证明】周长为。 【性质2】设焦点三角形中，，则，（其中为内切圆半径）。 【证明】 ， ，，由此得到的推论： ①椭圆焦点三角形面积即与短轴端点重合时面积最大。 ②的大小与之间可相互求出； ③的最大值：最大最大最大为短轴顶点； ④设点是椭圆（）上异于长轴端点的任一点,为其焦点，记，则。 【性质3】设以原点为圆心，以椭圆的两个焦点的连线为直径的圆为圆，点在椭圆上（不是长轴端点），则： ①点在圆外，则为锐角；②点在圆上，则为直角；③点在圆内，则为钝角。 【性质4】椭圆的焦点直角三角形个数: ⑴当底角为时，有四个点满足(四个全等，点为通径端点。)； ⑵当顶角为时，即以为直径的圆与椭圆交点为点， ①若时，，满足题意的点有个； ②若时，，满足题意的点有个； ③若时，，满足题意的点有个。 【性质5】若分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则。 【证明】 。 【性质6】若分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则。 【证明】由性质可知，，则，解得。 【性质7】设椭圆焦点三角形中，，则椭圆的离心率。 【证明】在椭圆中，设焦点三角形的外接圆半径为，由正弦定理得，，，，则。 【性质8】在椭圆（）中，若焦点三角形的内切圆圆心为，延长交线段与点，则离心率。 【证明】易知为的角平分线，由角平分线定理可知，，（合比定理）。 【例1】设、是椭圆长轴的两个端点,若上存在点满足,则实数的取值范围是 (　　　) 【答案】 【解析】当时,椭圆的焦点在轴上,要使上存在点满足,则,即，得;当时,椭圆的焦点在轴上,要使上存在点满足,则,即,得。综上所述，实数的取值范围为,选. 【例2】已知是椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,， 若的面积为,则 【答案】 【解析】由椭圆焦点三角形面积公式得：，。 【例3】已知是椭圆的焦点,点在椭圆上，且,则的面积为 【答案】 【解析】利用焦点三角形面积公式得。 【例4】已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则 【答案】 【解析】法一：设，则，即，即，，解得，则。 法二：，解得，故。 【例5】已知、是椭圆的焦点,在上满足的点的个数为 【答案】 【解析】，点的个数是个。 【例6】已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,若是一个直角三角形的三个顶点,则点到轴的距离为 ( ) 【答案】 【解析】，顶角为直角的不存在；而底角为直角时，到轴的距离为通径的一半，即，选。 【例7】设、为椭圆的两个焦点,为椭圆上的一点，已知,,是一个直角三角形的三个顶点,且,则. 【答案】或 【解析】，顶角为直角与底角为直角的均存在， ①如果底角为直角，，,； ②如果顶角为直角，，，,。 综上所述，或。 【例8】椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点，当为钝角时，点的横坐标取值范围为 【答案】 【解析】法一：数量积 由题可知，，设，则，，，解得。 法二：焦半径公式+余弦定理 设，易知，，，为钝角，，即，解得； 法三：等面积法 设，则，即，当时，，，，，解得。 【例9】在椭圆上是否存在点，使为锐角、直角、钝角（是椭圆的两个焦点）？若存在，求出点的横坐标的取值范围。 【解析】在椭圆中，，，在椭圆上存在点，使得为锐角、直角、钝角，设的横坐标为， 以为圆心，为直径的圆的方程为，联立，解得。 ①当为直角时，； ②当为锐角时，； ③当为钝角时，。 【例10】已知椭圆的两焦点分别为，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 【答案】 【解析】法一：由性质可知，，即，解得。 法二：设，，，由性质可知，， ，，，，即 。 法三：最大角定理：由题可知，当在短轴顶点处，有最大值，此时此时，，即，，解得。 法四：由性质可知，，即。 【例11】已知是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 【答案】 【解析】法一：是椭圆的左右两个焦点，，，，设，，，即，化简得，联立得，解得，又，。 法二：由题可知，，由性质可知，，解得，则； 法三：设，，，则 。，，则，故。 法四：最大角定理 由题可知，当在短轴顶点处，有最大值，此时，，即，则，，解得。 法五：余弦定理 ， ，即， 法六：焦半径公式 设，则，，，解得。 法七：由性质可知，，即。 【例12】设椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上的点，，，则曲线的离心率为 【答案】 【解析】