第一章 2.3 椭圆中最大张角问题-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

2.3 椭圆中的最大张角问题 【定理1】如图，已知 为椭圆 的两个焦点, 为椭圆上任意一点,则当点 为椭圆短轴的端点时, 最大。 【分析】 ，且 在 为单调递减函数，只要求 的最小值，又知 ，利用余弦定理可得。 【证明】法一：（余弦定理+均值不等式） ， ，（当 时取等号）,由在 中，由余弦定理得： （当且仅当 时取等号）， 当 时， 的值最小， ， 此时 最大。即点 为椭圆短轴的端点时 最大。 法二：（焦半径公式+余弦定理） 设 ,由焦半径公式可知： ， ，在 中， ， ， ，当 时， 有最小值，即 在短轴端点时， 最大，得证。 【定理2】如图，已知 为椭圆 长轴上的两个顶点， 为椭圆上任意一点,则当点 为椭圆短轴的端点时, 最大。 【分析】当 最大时， 一定是钝角，而 在 上是增函数，利用点 的坐标，表示出 ，再求 的最大值。 【证明】不妨设 ，则 ， ， 则 ，又 ， ，因为 ， ， 当 时， 取得最大值，此时 最大， 当点 为椭圆短轴的端点时, 最大。 【例1】已知 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 使得 ，则椭圆离心率的取值范围为 【分析】 存在 ， 只要最大角 ，即 ，即 ， ，从而求出 的范围。 【解析】当点 为椭圆短轴的端点时, 最大，因此要最大角 ，即 ，即 ， ， ，得 ，故椭圆的离心率 。 【例2】设 为椭圆 的两个焦点, 为椭圆上任意一点，已知 是一个直角三角形的三个顶点，且 ，则 。 【分析】当点 为椭圆短轴的端点时, 最大，且最大角为钝角，所以本题有 两种情况： 或 。 【解析】由已知可得，当点 为椭圆短轴的端点时, 最大且 为钝角，由结论1知，椭圆上存在一点 ，使 为直角，又 也可为直角，所以本题有两解，由已知有 。 ⑴若 为直角，则 ，所以 ， 得 ，故 ； ⑵若 为直角，则 ，所以 ， 得 ，故 。 【例3】已知焦点在 轴上的椭圆 ， 是它的两个焦点，若椭圆上存在点 ，使得 ，则 的取值范围为 【答案】 【解析】当点 为椭圆短轴的端点时, 最大，若此时 ，则有 ，又 ， ， 的取值范围为 。 【例4】已知椭圆 ， 是它的两个焦点，点 为其上的动点，当 为钝角时，则点 横坐标的取值范围为 。 【答案】 【解析】当点 越接近短轴的端点时， 越大，所以只要求 为直角时点 的横坐标的值， ， 当 为直角时，点 在圆 上，解方程组 ，得 ， 点 横坐标的取值范围是 。 法二： 的面积为 ， 当 为直角三角形时， ， 为钝角， ，即 ，则 ，解得 。 【例5】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 为椭圆 与 轴的交点，若以 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆 的离心率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 点 为椭圆 与 轴的交点，以 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，即 ， ， ， ， 【例6】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆上存在一点 使 ，则椭圆 的离心率的取值范围是________． 【答案】 【解析】考虑到椭圆上的点 与两焦点连线所成的角中，当点 位于椭圆短轴的顶点时 最大。所以椭圆上存在点 使得 ，则短轴顶点与两焦点连线所成的夹角不小于 。由椭圆的对称性可知， ，则 ，即 ， ， ， ， 。 【例7】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆上存在一点 使 ，且 ，则 ， 的取值范围为 【答案】 【解析】法一：由题可知，满足条件的点 当且仅当 ， ，则有 ①， ②， ③，联立可得 ，又 ， 。由② = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③可得， ， EMBED Equation.DSMT4 ，则 ，解得 。 法二：令 ，则 ，即 ，则 ， ， ，则 ， ，解得 。 【例8】已知 分别是椭圆 的左、右焦点，过 且垂直于 轴的直线与椭圆交于 上下两点，若 是锐角三角形，则该椭圆的离心率 的取值范围是(　　) 【答案】 【解析】 分别是椭圆 的左、右焦点，过 且垂直于 轴的直线与椭圆交于 上下两点， ， ， ， 是锐角三角形， ，整理得 ，两边同时除以 ，并整理，得 ，解得 或 (舍去)， ，∴椭圆的离心率 的取值范围是 ，故选 . 【例9】已知 为椭圆 的左，右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，且顶角最大为 ，则 的离心率为 【答案】 【解析】不妨取点 在第一象限，设双曲线方程为 ，则 ，从而 ， ， ， 。 【例10】已知 为椭圆 的左，右顶点，在椭圆 上存在一点 ，使 ，则 的离心率的最小值为(　　) EMBED Equation.KSEE3