第一章 2.1 椭圆的标准方程及其几何性质-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

2.1 椭圆标准的标准方程及其几何性质 一.椭圆的基础知识 焦点 位置 焦点在轴上 焦点在轴上 定义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即。 ①当时，轨迹是椭圆； ②当时，轨迹是一条线段； ③当时，轨迹不存在。 图形 标准 方程 范围 且 且 顶点 、 轴长 短轴长 长轴长 的关系 （符合勾股定理的结构，最大，都可以 焦点 坐标 、 、 焦距 焦半径公式 （左加右减） （下加上减） 焦点 三角形 （） 焦点弦长公式 过左焦点的弦长 过右焦点的弦长 过下焦点的弦长 过上焦点的弦长 焦准距 焦点到准线的距离 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为，通径是过焦点最短的弦 对称性 关于轴、轴、原点对称 离心率 ，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁 椭圆光学性质 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. 第二 定义 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆，其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率。 准线 方程 二、椭圆常用结论 1.⑴与椭圆共焦点的椭圆的方程可设为； ⑵与椭圆有相同的离心率的椭圆可设为； 2.椭圆的两焦点分别为,是椭圆上任意一点,记，则有以下结论成立: ①第一定义：； ②焦半径的最大值与最小值：； ③； 3. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是；若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是； 4.椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时，与交点的轨迹方程是； 5.点为椭圆上任一点,为椭圆上的两个焦点，为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立. 6.点为坐标原点，为椭圆上两动点，且，则以下结论成立： ①；②的最小值为；③的最小值是. 【证明】利用极坐标来证明：在椭圆中，设，代入椭圆方程易得，即。 ①； ② ； ③。 7. 若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设： ⑴过的直线的倾斜角为，交椭圆于两点，则： ① ；② 【证明】设，则，设倾斜角为，在中，由余弦定理得 ，整理得；同理，设，则，在中，由余弦定理得，整理得。 ⑵若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于两点，则① ；②； 结论：椭圆过焦点弦长公式： 8.若是过焦点的弦,设,则。 【题型1】定义法求椭圆标准方程 首先求出到两定点的距离之和与两顶点之间的距离分别求出的值，然后根据，求出的值。 【例1】一个椭圆的中心在原点，焦点在x轴上是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆的方程为(　　) 【答案】 【解析】设椭圆的标准方程为，由点在椭圆上知，又成等差数列，则，即，又，联立，得，故椭圆方程为。 【例2】已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，过的直线交于，两点．若的周长为，则的方程为(　　) 【答案】 【解析】由题意及椭圆的定义知，则，又，，则，故的方程为。 【例3】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，，则椭圆的方程为（ ） 【答案】 【解析】由椭圆的焦点为，可知，又，，设，则，，根据椭圆的定义可知，得，，，，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，，椭圆的方程为. 【题型2】几何图形性质求椭圆标准方程 利用待定系数法要先定形(焦点位置)，选定标准方程形式再通过分析运算定量，也可把椭圆方程设为的形式． 【例4】椭圆的焦点在轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为(　　) 【答案】 【解析】由条件可知，椭圆的标准方程为，故选. 【例5】如图，已知椭圆，其中左焦点为，为上一点，满足，且，则椭圆的方程为(　　) 【答案】 【解析】设椭圆的焦距为，右焦点为，连接，由，得，由，知.在中，由勾股定理，得，由椭圆定义，得，，得，，椭圆的方程为。 【题型3】几何位置法求椭圆标准方程 运用表示出几何位置关系表述的式子，然后结合求出。 【例6】已知椭圆上的动点到焦点的距离的最小值为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，则椭圆的方程为(　　) 【答案】 【解析】由题意知，又，得，故，椭圆的方程为，故选. 【例7】已知椭圆的焦点在轴上，一个顶点为，其右焦点到直线的距离为，则椭圆的方程为______________． 【答案】 【解析】据题意知，故可设椭圆方程为，设右焦点为，它到