第一章 1.2 抛物线常用结论及其应用-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

1.2 抛物线常用结论及应用 已知抛物线方程为，准线与轴相交于点,过焦点作倾斜角为（斜率为）的直线与抛物线相交于两点，为坐标原点. ⑴与焦半径相关的结论： ①； ★特别提示：若抛物线，则。 ②； ③; ④。 【证明】如图所示， ①,; ,. ② ③ ④； ⑵原点到直线的距离； 【证明】原点到直线的距离。 ⑶与面积相关结论： ①； 【证明】。 ②。 【证明】。 ⑷①；②；③。 【证明】①焦点坐标为,当不垂直于轴时，设直线的方程为,联立方程组,消去整理得,,。 当轴时，直线方程为,则,，. ②； ③设，则，联立，整理得，则，。 ⑸直线的斜率之和为零（）,即。 ⑹点三点共线，点三点共线; ⑺如图，点是抛物线上的点，为坐标原点，若,则直线恒过定点. 【证明】①若斜率不存在时，易知，此时，，显然直线恒过定点. ②若直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消去整理得，，则， ，即， ，即。 ⑻三个相切： ①以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切； ②过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径的端点的圆与焦点弦相切； ③以抛物线焦半径为直径的圆与一条坐标轴相切。 【定理】已知是抛物线的过焦点的弦，求证： ①以为直径的圆与抛物线的准线相切。 ②分别过做准线的垂线，垂足为，求证：以为直径的圆与直线相切。 【证明】①如图， 设的中点为,过向准线作垂线，垂足分别为，连结。 由抛物线定义：，，， 以为直径为圆与准线相切 ②如图， 取中点，连结，，，， 。 同理，，，，，，， 以为直径为圆与焦点弦相切。 ⑼过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则. 【证明】设,设直线,联立,整理得,则,易得,此时设中点为,则,则直线的中垂线方程为,令,，解得，此时，则，即。 ⑽若抛物线方程为，直线过焦点,直线与抛物线交于、两点，若过分别作抛物线的切线，两切线的交点为,则,在准线上，. ⑾对于抛物线，其参数方程为，设抛物线上动点坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率． ⑿过抛物线上一点的切线方程为。 ⒀已知抛物线方程为，定点，直线过点交抛物线于两点，，则有； 【证明】设直线的方程为, 联立,整理可得, 由韦达定理, 得, 又,得, 所以. ⒁抛物线内接直角三角形的性质（）： ①；②恒过定点；③中点轨迹方程；④. 【证明】设直线方程为，联立，整理得，则，，，则。 ①； ②，，则恒过定点； ③设中点为，则，则，即； ④ 。 ⒂抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有； 【证明】易知，联立，整理得，则，则，得证。 【例1】已知抛物线的顶点是原点，焦点在轴的正半轴上，经过点的直线与抛物线交于两点，若，则抛物线的方程为(　　) 【答案】 【解析】设抛物线为，直线的方程为，设，则，得，得(舍负)，即抛物线的方程为，故选。 【例2】经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，则 【答案】 【解析】法一：设直线方程为，联立，整理得，设，，，解得。 法二：设，的中点的横坐标为，,，。 【例3】已知是抛物线的焦点，过且斜率为的直线交于两点，设，则与的比值等于 【答案】 【解析】法一：设的直线方程为，，，由抛物线定义可知，，故。 法二：焦比定理 设倾斜角为，，，解得。 法三：，，。 【例4】过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（在轴左侧），则 【答案】 【解析】法一：如图， 作轴，轴，则，，又已知，，直线的方程为， 即 与 联立,得，，，，两边同时除以，得，或，，，，，故答案为。 法二：设 由拋物线的定义可得 由直角三角形中 所对的直角边为斜边的一半,可得 则有 即 故答案为. 法三：设直线的倾斜角为 则，解得。 法四：，，。 【例5】过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若，则 【答案】 【解析】法一：易知直线的斜率存在，设为，则其方程为，由得，得①，，由抛物线的定义得，即②，由①②解得， 法二：由对称性不妨设点在轴的上方，如图，设在准线上的射影分别为，作于， 设，直线的倾斜角为，则，由抛物线的定义知， ，，则，，又，知，故利用弦长公式； 法三：，，解得，故。 法四：，，解得，则，； 法五：，，解得，则， ，即，解得，； 法六：，，。 【例6】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为 【答案】 【解析】由已知得焦点坐标为，直线的方程为，即，联立，化简得，故，。 法二：由及，得，原点到直线的距离，故。 法三：； 【例7】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若是的中点，且，则线段。 【答案】 【解析】法一：如图，