第一章 1.1 抛物线的标准方程及其几何性质-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

1.1 抛物线的标准方程及其几何性质 一、抛物线的定义与基本性质 由于抛物线所在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，分别建立直角坐标系，则抛物线的标准方程如下： 标准方程 图形 开口方向 右 左 上 下 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 顶点 离心率 焦半径 焦点弦 通径 ★相同点：⑴抛物线都过原点；⑵对称轴为坐标轴，焦点都在坐标轴上；⑶准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称，它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即； ★不同点：⑴图形关于轴对称时，为一次项，为二次项，方程右端为、左端为；图形关于轴对称时，为二次项，为一次项，方程右端为，左端为；⑵开口方向在轴（或轴）正向时，焦点在轴（或轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在轴（或轴）负向时，焦点在轴（或轴）负半轴时，方程右端取负号。 【题型1】待定系数法求抛物线方程 【例1】若抛物线的顶点为坐标原点，焦点为直线与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为___________． 【答案】或 【解析】对于直线方程.令，得，令，得，抛物线的焦点坐标为或．当焦点坐标为时，设方程为，则，，此时抛物线的标准方程为； 当焦点坐标为时，设方程为，则，，此时抛物线的标准方程为,所求抛物线的标准方程为或. 【例2】抛物线的焦点为，点是坐标原点，过点，的圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则抛物线的方程为_________． 【答案】 【解析】设满足题意的圆的圆心为,根据题意可知圆心在抛物线上，又圆的面积为，圆的半径为，则，即，又由题意可知，，解得,抛物线方程为. 【例3】已知分别是双曲线的左、右焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若，则抛物线的准线方程为________． 【答案】 【解析】将双曲线方程化为标准方程得，则,抛物线的准线为，联立得(舍去)，即点的横坐标为.而由,得，，得，抛物线的准线方程为. 【题型2】直线与抛物线关系求抛物线方程 【例4】如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点，若，且，则抛物线的方程是_____________． 【答案】 【解析】分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，则，， ，，又，,即点是的中点，根据题意得，抛物线的方程是. 【例5】直线过抛物线的焦点，且与相交于两点，且的中点的坐标为，则抛物线的方程为(　　) 或 或 或 或 【答案】或 【解析】由题可得直线的方程为，与抛物线方程联立，得 ,的中点为，,解得或， 或，抛物线的方程为或. 【例6】抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为________． 【答案】 【解析】由题意得抛物线的焦点，准线方程为.，求周长的最小值，即求的最小值．设点在准线上的射影为，如图所示，连接，根据抛物线的定义，可知，的最小值，即的最小值．根据平面几何的知识，可得当三点共线时取得最小值，的最小值为，周长的最小值为. 【例7】已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于两点,为坐标原点,若的面积为，则的值为(　　) 【答案】 【解析】双曲线的两条渐近线方程为，抛物线的准线方程为，故两点的坐标为，，，解得，故选. 【例8】如图所示，抛物线与交于两点，点为劣弧上不同于的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是(　　) 【答案】 【解析】由题意可得抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为，圆心为抛物线的焦点，故等于点N到准线的距离，又轴，故等于点到准线的距离．由得，又点为劣弧上不同于的一个动点，点到准线的距离的取值范围是，又，的周长的取值范围是，选. $