第二章 1.3 焦比公式求离心率-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

1.3 焦比公式求离心率 已知点是圆锥曲线的焦点，过点的弦所在直线倾斜角为，为直线的斜率，且， ⑴椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上），抛物线（离心率） ①焦点在轴上时: ； ②焦点在轴上时: ； ⑵双曲线 (直线与双曲线两个交点在两支上) ①焦点在轴上时, 。 ②焦点在轴上时, 。 如图，以椭圆为例，对结论（弦的长短决定加减）进行证明： 以下证明过程，为了方便，设。 如图，过椭圆上任意一点作准线的垂线，设垂足为,连接并延长交椭圆于另一点,设，过作的垂线，垂足设为，设,则， ，，由椭圆第二定义可知：，，化简得：,证毕. 到这里很多读者朋友会问：这个结论对应哪个焦半径？答案是:。 思考1：如何记忆这个公式呢？ 为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，，一个对应两个焦半径，弦的长短决定加减； 思考2：怎么证明？ 仿照证明自行证明. 以椭圆为例证明，如图， ,，则，化简得：。 进一步整理， 。 【题型1】用焦比公式求椭圆离心率 【例1】已知点是椭圆的右焦点，点是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为 【答案】 【解析】法一：，点的横坐标为，纵坐标为，假设点在第一象限，将其代入椭圆方程得，，即，解得，故答案为。 法二：如图， ，作轴于点，则由，得，，即，由椭圆第二定义得，又，得，解得。 法三：设为直线的倾斜角，，，，，解得。 法四：由题可知，,,得,解得。 【例2】经过椭圆()的左焦点作倾斜角为的直线和椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为 【答案】 【解析】直线的斜率, 带入公式，可得。 【例3】倾斜角为的直线经过椭圆()的右焦点，与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为(　　) 【答案】 【解析】法一：由题可知，直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则.设，则，又，，， ，，，故选. 法二：直线倾斜角为，。由公式可得，，故选。 【例4】已知椭圆的焦点为，过的直线与交于两点，过的直线与交于两点，若，则椭圆的方程为（ ） 【答案】 【解析】法一：，，又，，又，，，在中，，在中，由余弦定理可得，，根据，可得，解得，，，椭圆的方程为，故选。 法二：设，在短轴端点，设与轴负方向的夹角为，则，，得，则，椭圆的方程为，故选。 【例5】已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与交于两点，若，则 【答案】 【解析】法一：，设，①，设直线的方程为，代入①中消去可得，，，解得。 法二：设为直线的倾斜角，则。 【题型2】用焦比公式求双曲线离心率 【例6】已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的右支交于两点，若，，则的离心率是________． 【答案】 【解析】法一：两次余弦定理 设直线的倾斜角为，，则. ，即，，在中，设，有①.在中，有 ②.①＋②，得.又，，，即。 法二：焦比公式 ，，，设直线的倾斜角为，在中，由余弦定理，，两边同时除以可得，。，，，由焦比公式可知，，，解得。 【例7】已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与交于（其中点在轴上方）两点，且满足．若的离心率为，直线的倾斜角为，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】法一：，直线与双曲线的右支交于两点，设，则,根据双曲线定义，，． 在中，由余弦定理，得①； 在中，由余弦定理，得②， ①②并整理，得． 法二：焦比公式 ，直线与双曲线的右支交于两点，点在轴上方，，。设，由焦比公式可知，，解得，。 【例8】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则双曲线的离心率为（ ） 【答案】 【解析】法一：设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，如图所示： 直线的斜率为，直线的倾斜角为，，，由双曲线的第二定义得：，；，， ，又，，，故选。 法二：焦比公式 设直线的倾斜角为，，，，， 解得，故选。 法三：焦比公式 由题可知，,，，，故选。 【例9】已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，若，，则双曲线的离心率为____________． 【答案】 【解析】法一：由得又得是三角形的中位线，即，，，则有，又与都是渐近线，得又，得，又渐近线的斜率为，该双曲线的离心率为． 法二：焦比公式 设，则，在中，，解得，又，故，即，解得，故。 【题型3】用焦比公式求抛物线离心率 【例10】设抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，若，则直线的方程为(　　)． 或 或 或 或 【答案】 【解析】由题意可得抛物线焦点，准线方程为，当直线的斜率大于时，如图所示， 过两点分别向准线作垂线，垂足分别为，则由抛物线定义可