第二章 1.2 几何关系求离心率-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

1.2 几何关系求离心率 【例1】若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的离心率为（ ） 【答案】 【解析】解法一：常规解法 根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为 ，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为 ， 圆心到渐近线的距离为 ，即 ，解得 ， . 解法二：待定系数法 设渐进线的方程为 ，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为 ， 圆心到渐近线的距离为 ，即 ，解得 ；由于渐近线的斜率与离心率关系为 ，解得 . 解法三：几何法 从题意可知： ， 为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜角为 ， ， ，渐近线的斜率与离心率关系为 ，解得 . 解法四：参数法之直线参数方程 双曲线的渐近线方程为 ， ， ， ， 点 的坐标为 ，代入 中得 ， ，即 ，解得 ，得 。 【例2】已知 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上， 为等腰三角形，顶角为 ，则 的离心率为（　　） 【答案】 【解析】设 在双曲线 的左支上，且 ， ，则 的坐标为 ，代入双曲线方程可得 ，可得 ，即有 。 【例3】设 是双曲线 的一个焦点，若 上存在点 ，使线段 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 的离心率为 【答案】 【解析】如图所示， 法一：设 ，设 的中点为 ，即有 ，将点 代入双曲线方程可得 ，可得 ，解得 。 法二：易知 轴，则 ，解得 ， 。 【例4】平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线 （ ）交于点 ，若 的垂心为 的焦点，则 的离心率为 【答案】 【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，与抛物线 联立，可得 或 ，取 ，则 ， 的垂心为 的焦点， ， ， ， 。 【例5】设直线 （ ）与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，若点 满足 ，则该双曲线的离心率是 【答案】 【解析】 双曲线 的两条渐近线方程为 ，则 与直线 联立，可得 ， 中点坐标为 ， 点 满足 ， ， ， ， 。 【例6】设 是双曲线 的两个焦点， 是 上一点，若 ，且 的最小内角为 ，则双曲线 的离心率为__________． 【答案】 【解析】不妨设 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，整理得， ，即 ， 。 【例7】已知 分别是双曲线 的左右焦点， 是虚轴的端点，直线 与 的两条渐近线分别交于 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率是（ ） 【答案】 【解析】 ， ， ， ，直线 为 ，两条渐近线为 。由 ，得 ；由 ，得 ， 直线 为 ，令 得 ，又 ， ，解得 ，即 ． 【例8】设 为直线 与双曲线 左支的交点， 是左焦点， 垂直于 轴，则双曲线 的离心率 【答案】 【解析】法一：如图， 直线 与双曲线 相交，联立方程 ，化简得 ， ，又 垂直于 轴， ， 。 法二： 轴，则 ，当 时， ， ，解得 ，即 ，易得 ， ， 。 【例9】过双曲线 的右顶点 作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ，若 ，则双曲线的离心率是 ( ) 【答案】 【解析】法一：对于 ，则直线方程为 ，直线与两渐近线的交点为 ，联立方程 ，解得 ，联立 ，解得 ， ， ，则 ， ， ， ， 。 【例10】已知椭圆 ( ）,双曲线 ，若双曲线 的两条渐近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 的离心率为________；双曲线 的离心率为________ 【答案】 ； 【解析】法一：图中 ，设椭圆焦距为 , 又 ， ， ，又 ， ， ，即双曲线离心率为 。 法二：连接 ，则 ， ，对于椭圆 。连接六边形的对角线 ，则 ， ，则 。 $