第二章 1.1 定义法求离心率-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

1.1 定义法求离心率 解决椭圆和双曲线的离心率的求值，其关键就是确立一个关于的方程，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. ⑴在椭圆中，离心率； ⑵在双曲线中，离心率（知渐近线求离心率） ⑶若双曲线的焦点在轴，渐近线的倾斜角为，则，即。 【证明】法一，，即，，。 法二：双曲线渐近线方程为，焦点，则到的距离，则。 【例1】已知椭圆的一个焦点为,则的离心率为（ ） 【答案】 【解析】，，。 【例2】直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( ) 【答案】 【解析】由直角三角形的面积关系得，解得，故选。 【例3】若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) 【答案】 【解析】设长轴为，短轴为，焦距为，则即，，整理得，解得或（舍） 【例4】椭圆（）的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是，，若成等比数列，则此椭圆的离心率为 【答案】 【解析】椭圆（）的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是，，若成等比数列，，即，． 【例5】设是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（    ）   【答案】 【解析】，直线的斜率为 ，则 ，则，，则，解得。 【例6】在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是________ 【答案】 【解析】法一：双曲线右焦点到的距离，，解得。 法二：双曲线右焦点到一条渐近线的距离为，则，即，，，解得。 【例7】设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（　　） 【答案】 【解析】，由双曲线的定义可得，，，即，。 【例8】设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（　　） 【答案】 【解析】不妨设右支上点的横坐标为,由焦半径公式有， ， ，，，，。 【例9】设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的倍，则的离心率为 【答案】 【解析】通径，解得，故。 【例10】已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是 【答案】 【解析】如图， 令，代入双曲线的方程可得，由题意可设，，由，可得，即为，，，解得。 【例11】若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是 【答案】 【解析】若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则， ，，，。 【例12】如图，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为 【答案】 【解析】，，，。 【例13】如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 【答案】 【解析】设双曲线实半轴长为，焦半距为，，由题意可知， ，， ，解得，。 【例14】在平面直角坐标系中, 若双曲线的离心率为,则。 【答案】 【解析】由题可知，，解得。 【例15】点在椭圆的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） 【答案】 【解析】由题可知，入射光线，关于的反射光线（对称关系）为，则，解得，则，故选。 【例16】设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） 【答案】 【解析】在椭圆的内部，，即，，整理得，，，，故，得到，又恒成立，即恒成立，等价于，亦即，等价于，即，得到，综上所述，，故选. 【例17】已知双曲线的两条渐近线分别为，则双曲线的离心率为_________ 【解析】双曲线的渐近线分别为，，，解得， 双曲线的离心率。 【例18】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的余弦值为，该双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（ ） 【解析】法一：设双曲线的一条渐近线的倾斜角为， ，则 ，