第一章 5.2 定义法-【学习帮】高中数学圆锥曲线专项例题精讲精析

5.2 定义法 定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程. 定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有： ①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹，确定方程的要素：圆心坐标，半径； 直角→圆：若，则点在以为直径的圆上； ②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹；确定方程的要素：距离和，定点距离； ③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹；确定方程的要素：距离差的绝对值，定点距离。 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支； ④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹，确定方程的要素：焦准距：。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程。 定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点： ⑴求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程； ⑵关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键； ⑶利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量或进行限制。 【例1】若动圆过定点且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________ 【答案】 【解析】定圆的圆心为，观察到恰好与关于原点对称，所以考虑点轨迹是否为椭圆或双曲线，设动圆的半径为，则有，由两圆外切可得，，即距离差为定值，判断出的轨迹为双曲线的左支，则，解得，曲线的轨迹方程为。 【点评】本题从所给条件中的对称定点出发，先作一个预判，从而便可去寻找符合定义的要素，即线段的和或差。要注意本题中，所以轨迹为双曲线的一支。 【例2】是圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为（ ） 【答案】 【解析】由题可知，，发现刚好与均在轴上且关于原点对称，从而联想到双曲线或椭圆的焦点，观察几何性质可得，，，即到的距离和为定值，从而判断出其轨迹为椭圆，如下图： ，解得，，则，椭圆方程为。 【例3】已知直线与抛物线交于两点，且，其中为坐标原点，若于，则点的轨迹方程为（ ） 【答案】 【分析】先处理条件可得由为邻边的平行四边形对角线相等，所以该 四边形为矩形，即，设，即，联立直线与抛物线方程并利用韦达定理可得，从而可得直线过定点，结合图像性质可得，则的轨迹为以为直径的圆，轨迹方程为。 【解析】，且为为邻边的平行四边形对角线，该四边形为矩形，即，设， 联立方程，消去可得，，， ，由可得，，即直线过定点，，即，的轨迹为以为直径的圆，则该圆的圆心为，半径，点的轨迹方程为。 【例4】已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 【解析】如图所示，设动圆和定圆内切于点，动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和等于定圆半径，即，点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程． 【点评】本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 【例5】如图，已知的两顶点坐标 圆是的内切圆,在边，，上的切点分别为，（ 从圆外一点到圆的两条切线线段长相等)，动点的轨迹为曲线，求曲线的方程. 【解析】由题可知，，曲线是以 为焦点，长轴长为的椭圆（除去与轴的交点），设曲线， 则，曲线的方程为. 【例6】已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线． ⑴求的方程； ⑵是与圆、圆都相切的一条直线，与曲线交于、两点，当圆的半径最长时，求． 【解析】⑴设动圆的半径为，则，，，圆心是 以、为焦点，的椭圆（左顶点除外）。，，，的方程为（）； ⑵由⑴可知，，，，，当且仅当点为时等号成立，当圆的半径最长时，圆的方程为； ①当的斜率不存在的时候，此时显然就是轴，； ②当的斜率存在的时候，显然的斜率不为，设与轴交于点，则，即，解得，，直线方程为。联立，消去，得，则，由弦长公式可得， 。 【例7】在直角坐标系中，曲线的点均在外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值. ⑴求曲线的方程； ⑵设（）为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和，证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值． 【解析】⑴法一：设的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于 直线的右侧，，，化简得曲线的方程为． 法二：