易错点11 直线与圆-备战2022年高考数学考试易错题（新高考专用）

易错点11 直线与圆 易错题【01】写直线的截距式方程忽略截距为零的情况 直线的截距式方程为，其中分别为该直线在x轴、y轴上的截距，用截距式方程表示直线，首先保证直线在x轴、y轴上的截距都存在，且不为零，当截距不存在，或截距为零，不能使用截距方程表示直线。 易错题【02】利用斜率判断直线的垂直忽略斜率不存在的情况 若直线的斜率分别为，则，另外还要注意当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，这两条直线也垂直，因此用斜率判断直线的垂直，不要忽略斜率不存在的情况，此外为了避免讨论直线的斜率是否存在，可利用直线的方向向量，若 分别为直线的方向向量，则。 易错题【03】忽视方程表示圆的条件致误 圆的标准方程为，圆的一般方程为，在用圆的一般方程解题时要注意这一条件。 易错题【04】忽略三角形三顶点不共线致误 求解与△ABC与直线与圆的交汇问题，要注意三点不共线。 01 直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为 【警示】本题错误解法是：因为直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即. 【答案】或 【问诊】错误原因是忽略直线l过原点,截距为零的情况.正确解法为：若直线l过原点,满足题意,此时直线l的方程为；若直线l不过原点,设直线l的方程为,则,所以,故直线l的方程为,即.所以直线l的方程为或. 【叮嘱】直线l的方程可以表示为的条件是直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零.   1.过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线共有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A． B． C．或 D．或 02 a为何值时,(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？ (2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？ 【警示】本题错误解法是：(1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0的方程可变形为y＝－x＋与y＝x－, ∴当－＝且≠－, 即a＝时,两直线平行． (2)当－＝－1时,两直线垂直,此方程无解,故无论a为何值时,两直线都不垂直． 【问诊】(1)没考虑斜率不存在即a＝0的情况；(2)没有考虑l3的斜率不存在且l4的斜率为0也符合要求这种情况． 【答案】(1)①当a＝0时,两直线的斜率不存在,直线l1：x－1＝0,直线l2：x＋1＝0,此时,l1∥l2. ②当a≠0时,l1：y＝－x＋, l2：y＝x－, 直线l1的斜率为k1＝－, 直线l2的斜率为k2＝, 要使两直线平行,必须解得a＝. 综合①②可得当a＝0或a＝时,两直线平行． (2)方法一　①当a＝0时,直线l3的斜率不存在,直线l3： x－1＝0,直线l4：y－＝0,此时,l3⊥l4. ②当a≠0时,直线l3：y＝－x＋与直线l4：y＝－x＋,直线l3的斜率为k3＝－,直线l4的斜率为k4＝－,要使两直线垂直,必须k3·k4＝－1, 即－·＝－1,不存在实数a使得方程成立． 综合①②可得当a＝0时,两直线垂直． 方法二　要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直,根据两直线垂直的充要条件,必须A1A2＋B1B2＝0,即2a＋2a＝0,解得a＝0,所以,当a＝0时,两直线垂直． 【叮嘱】求直线方程,特别是研究含参数的直线方程问题时,一定要对直线斜率的存在性进行讨论,这是避免出错的重要方法． 1．已知直线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A． B． C．或 D．不存在 2. （2022届“四省八校”高三上学期期中）直线和直线垂直，则实数的值为（ ） A．或 B． C． D． 03 已知圆C的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0,过点A(1,2)作圆 的切线有两条,求a的取值范围． 【警示】本题错误解法是：将圆C的方程配方有 (x＋)2＋(y＋1)2＝. ∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝. 当点A在圆外时,过点A可以作圆的两条切线, ∴|AC|>r,即 >, 化简得a2＋a＋9>0,Δ＝1－4×9＝－35<0, ∴a∈R. 【问诊】错解中只考虑了点A在圆C外部,而忽视了圆C的方程是圆的一般式方程,x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0表示圆的条件没有考虑． 【答案】将圆C的方程配方有(x＋)2＋(y＋1)2＝, ∴>0,① ∴圆心C的坐标为(－,－1),半径r＝. 当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,∴|AC|>r, 即 >, 化简得a2＋a＋9>0.② 由①②得－<a<,∴a的取值范围是－<a<. 【叮嘱】二元二次方程表示圆是有条件的,必须有D2＋E2－4F>0.本题的失分原因是忽视了这个条件．在解决此类问题时,可以直接判断