易错点09 不等式-备战2022年高考数学考试易错题（新高考专用）

易错点09 不等式 易错题【01】利用同向相加求范围出错 利用同向相加求变量或式子的取值范围,是最常用的方法,但如果多次使用不等式的可加性,变量或式子中的等号可能不会同时取到,会导致范围扩大. 易错题【02】解分数不等式忽略分母不为零 解含有分数的不等式,在去分母时要注意分母不为零的限制条件,防止出现增解,如. 易错题【03】连续使用均值不等式忽略等号能否同时成立 连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件,检验等号能否同时成立. 易错题【04】混淆单变量与双变量 (1) 恒成立的最小值大于零； (2)恒成立； (3) 使得成立的最大值大于零； (4) 使得恒成立； 易错题【05】解含有参数的不等式分类不当致误 (1)解含有参数的不等式要注意判断是否需要对参数进行分类讨论,分类要满足互斥、无漏、最简. (2)解形如的不等式,首先要对的符号进行讨论,当a的符号确定后再根据判别式的符号或两根的大小进行讨论. 01 设f(x)＝ax2＋bx,若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(－2)的取值范围是________． 【警示】本题常见的错误解法是：由已知得 ①＋②得3≤2a≤6,∴6≤4a≤12,又由①可得－2≤－a＋b≤－1,③ ②＋③得0≤2b≤3,∴－3≤－2b≤0,又f(－2)＝4a－2b,∴3≤4a－2b≤12, ∴f(－2)的取值范围是[3,12]． 【答案】 【问诊】正确解法是：由 得 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10,故5≤f(－2)≤10. 【叮嘱】在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会导致范围扩大. 1. 已知实数x,y满足,,则（ ） A．1≤x≤3 B．2≤y≤1 C．2≤4x+y≤15 D．xy 2.已知,,则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 02 解不等式. 【警示】本题易错之处是误以为. 【问诊】, 所以的解集为. 【叮嘱】,且. 1．设集合,,则（ ） A． B． C． D． 2. 设,那么“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 03 已知x>0,y>0,且＋＝1,则x＋y的最小值是________． 【警示】本题错误解法是：∵x>0,y>0,∴1＝＋≥2,∴≥2,∴x＋y≥2＝4, ∴x＋y的最小值为4. 【答案】3＋2 【问诊】＋≥2取等号的条件是,即,x＋y≥2取等号的条件是与矛盾.正确解法为：∵x>0,y>0,∴x＋y＝(x＋y)(＋) ＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y＝x时取等号), ∴当x＝＋1,y＝2＋时,(x＋y)min＝3＋2. 【叮嘱】多次使用基本不等式要验证等号成立的条件. 1.（2022届辽宁省东北育才学校高三上学期模拟）圆关于直线对称,则的最小值是（ ） A． B． C． D． 2.（2022届河南省名校大联考高三上学期期中）已知正实数,,满足,则当与同时取得最大值时,（ ） A． B． C． D． 04 已知,, (1)若对任意,恒有,求实数的取值范围； (2)若对任意,恒有,求实数的取值范围； 【警示】本题易混淆单变量与双变量 【答案】（1）；（2） 【问诊】（1）设,因为时=>0,所以在上是增函数,由此可求得的值域是[0,],所以实数的取值范围是[0,].对任意,恒有,即时恒成立,即,由⑵可知0. （2）由题中条件可得的值域的值域,若对任意,恒有,即,即,所以. 【叮嘱】①若值域为,则不等式恒成立；不等式有解； ②若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立. ③设的最大值为,对任意,的条件,于是问题转化为存在,使得,因此只需的最小值大于即. 1．已知 ,在区间上存在三个不同的实数,使得以为边长的三角形是直角三角形,则的取值范围是 A． B． C． D． 2.已知函数是定义域上的奇函数,且. （1）求函数的解析式,判断函数在上的单调性并证明； （2）令,若对任意都有,求实数的取值范围. 05 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 【警示】本题错误解法为：原不等式化为a(x－)(x－1)<0. ∴当a>1时,不等式的解集为. 当a<1时,不等式的解集为. 【答案】当a<0时,不等式的解集为∪(1,＋∞)； 当a＝0时,不等式的解集为(1,＋∞)； 当0<a<1时,不等式的解集为； 当a＝1时,不等式的解集为；当a>1时,不等式的解集为. 【问诊】解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式,忽视了对a＝0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a时,若a<0,忘记