第1讲 空间几何体的表面积与体积（讲·）-2022年高考数学二轮复习讲练测（新教材地区专用）

第1讲 空间几何体的表面积与体积（讲·教师版） 高考定位 空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积与体积是高考题的重点与热点，保持“一小一大”或“两小一大”的格局，多以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的体积或表面积的计算，或是与球有关的相接、相切计算问题，属于中等难度． 核心整合 1.旋转体的侧面积和表面积公式 (1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)． (2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)． (3)S球表＝4πR2(R为球的半径)． 2.空间几何体的体积公式 V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)； V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)； V球＝πR3(R为球的半径)． 3.解决多面体与球问题的两种思路 (1)利用构造长方体、正四面体等确定直径． (2)利用球心O与截面圆的圆心O1的连线垂直于截面圆的性质确定球心． 4.解决多面体与球相接、相切问题常用的几个结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R. ①正方体的外接球，则2R＝a； ②正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 真题体验 1．（2021•新高考全国Ⅰ卷）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选B. 2.（2021•新高考全国II卷）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积.故选D. 3.（2021•天津高考）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点， 设圆锥和圆锥的高之比为，即， 设球的半径为，则，可得，所以，， 所以，，， ，则，所以，， 又因为，所以，， 所以，， 因此这两个圆锥的体积之和为.故选B. 4.（2021•北京高考）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 【解析】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥， 所以积水厚度，属于中雨.故选B. 5.（2021•高考全国甲卷文科）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 【答案】 【解析】∵，∴， ∴， ∴. 能力突破 考点一　空间几何体的直观图与截面图 【例1】 (1)已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________. [解析]　如图，图①、图②分别表示△ABC的实际图形和直观图． 由图②可知，A′B′＝AB＝2， O′C′＝OC＝，C′D′＝O′C′sin 45°＝×＝. 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝. (2)(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． [解析]如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点．在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝. [答案]　(1)　(2) 【规律方法】 1.常见三类空间几何体的截面图 轴截面、横截面与斜截面：利用截面图可将空间问题转化为平面问题解决． 2．原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝S原图形；(2)S原图形＝2S直观【对点训练1】 （1）在立体几何中，用一