专题13 立体几何与空间向量（解答题）--《2022届新高考（全国I卷）地区优质数学试卷分项解析》

专题13 立体几何与空间向量（解答题）（12月卷） 53．（2021·山东·济南外国语学校高三阶段练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 54．（2022·全国·高三专题练习）如图，在五面体中，平面平面，，，且，. （1）求证：平面平面； （2）已知是线段上点，满足，求二面角的余弦值. 55．（2021·江苏·南京市第二十九中学高三阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，为的中点，直线与所成角的大小为. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 56．（2021·广东·高三阶段练习）如图，已知四边形为正方形，平面，，，，为线段上的动点，为的中点. （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值的取值范围. 57．（2021·广东东莞·高三阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且AD=CD=，BC=，PA=1. (1)求证：ABPC； (2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M-AC-D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由. 58．（2021·广东·大埔县田家炳实验中学高三阶段练习）在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F分别为AD，PC的中点． Ⅰ求证：平面BEF； Ⅱ若，求二面角的余弦值． 59．（2021·广东茂名·高三阶段练习）如图，四边形和都是正方形，且平面平面，、分别是、的中点，点在线段上. （1）求证：； （2）若二面角的大小为45°，求直线与平面所成角的正弦值. 60．（2021·广东广州·高三阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 61．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）如图，在三棱锥中， ，为的中点，. （1）证明：平面平面; （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥的体积为，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值. 62．（2021·广东汕头·高三期末）如图，直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱）内接于一个等边圆柱（轴截面为正方形），AB是圆柱底面圆O的直径，点D在上，且．若AC=BC， （1）求证：平面平面； （2）求平面COD与平面所成锐二面角的余弦值． 63．（2021·广东·高三阶段练习）如图，已知四边形为等腰梯形，，，，P为平面外一动点，且为正三角形，G为的中点． （1）证明：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 64．（2021·重庆南开中学高三阶段练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P、Q分别在棱、上． （1）若P是的中点，证明：； （2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积． 65．（2021·湖南·沅江市第一中学高三阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，，，点M在棱PC上，且PB⊥DM，PA=AB=3． （1）证明：EF平面PAB； （2）求DM与平面BEF所成角的正弦值． 66．（2021·湖南·雅礼中学高三阶段练习）如下图所示，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点是棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 67．（2020·山东省青岛第五十八中学高三阶段练习）已知三棱锥及其平面展开图如图所示，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值. 68．（2021·山东师范大学附中高三阶段练习）如图，在四棱柱中，底面为正方形，平面,，点在上，且平面. （1）求的值； （2）求二面角的正弦值. 69．（2021·黑龙江·大庆中学高三期中（理））如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 70．（2021·山东潍坊·高三阶段练习）已知圆柱的底面半径为1，高为，是圆柱的一个轴截面.一动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示.将轴截面绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点. （1）当时，证明：平面平面； （2）是否存在，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 71．（2021·山东·莱州市第一中学高三阶段练习）如图所示，在矩形中，，点为的中点，沿将折起，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 72．（2021·福建省厦门集美中学高三阶段练习）如图，直三棱柱中，=1，是棱的中点，. （1）证明： （2）求二面角