专题一 专题提能 三角函数与解三角形（教参）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（老教材新高考）

　　　　　　　　　　　　三角函数与解三角形 授课提示：对应学生用书第15页 (一)三角形中的(最值)范围问题 任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围(或最值)问题也不例外．三角形中的范围(或最值)问题的解法主要有两种：一是利用函数求解，二是利用基本不等式求解．由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法． 1．与边或角有关的范围(最值)问题 [例1]　(2021·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A≠，且________． (1)求a的值； (2)若A＝，求△ABC周长的最大值． 从①3acos B＋3bcos A＝ac；②3acos B＋abcos A＝3c； ③bcos C＋ccos B＝3这三个条件中选一个补充在上面问题中并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． [解析]　(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π， 若选①，则由正弦定理得， 3sin Acos B＋3sin Bcos A＝asin C ⇒3sin(A＋B)＝asin C⇒3sin C＝asin C，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，因此a＝3.若选②，则由正弦定理得， 3sin Acos B＋asin Bcos A＝3sin C⇒asin Bcos A＝3sin(A＋B)－3sin Acos B⇒asin Bcos A＝3cos Asin B， 因为A，B∈(0，π)且A≠，所以sin B≠0，cos A≠0，因此a＝3. 若选③，则由正弦定理得， sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin A·⇒sin(B＋C)＝⇒asin A＝3sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，因此a＝3. (2)若A＝，则由余弦定理得9＝b2＋c2＋bc，即(b＋c)2－9＝bc，又bc≤2，故(b＋c)2－9≤，即b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时取等号，∴a＋b＋c的最大值为3＋2. 三角形中边或角范围问题的解决方法 求解边或角的取值范围是命题的热点，主要形式和解决方法有： 要建立所求式子与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求式子的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果范围扩大. [对点训练] 1．(2021·内江模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A，sin B，sin C成等比数列，则角B的取值范围为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 解析：∵在△ABC中，sin A，sin B，sin C成等比数列， ∴sin2B＝sin Asin C，结合正弦定理，得b2＝ac，再由余弦定理，得cos B＝＝≥＝(当且仅当a＝c时取等号)．∵0＜B＜π，∴B的取值范围为. 答案：A 2．(2021·成都调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c·cos B＝2a＋b，若△ABC的面积为S＝c，则ab的最小值为(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 解析：在△ABC中，由已知及正弦定理可得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B＝2sin(B＋C)＋sin B，即2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B＋sin B，∴2sin Bcos C＋sin B＝0.∵B∈(0，π)，即sin B≠0，∴cos C＝－，C＝.由于△ABC的面积为S＝ab·sin C＝ab＝c，∴c＝ab.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·cos C，整理可得a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时，取等号，∴ab≥12. 答案：C 2．与面积有关的范围或最值问题 [例2]　(2021·枣庄调研)若AB＝2，AC＝BC，则S△ABC的最大值为(　　) A．2 B. C. D．3 [解析]　依题意，设BC＝a，则AC＝a.又∵AB＝2，∴由余弦定理，得2a2＝a2＋4－2a·2cos B，∴cos B＝－，∴cos2B＝＋－，∴sin2B＝1－cos2B＝－－.∴S△ABC＝AB·BCsin B＝×2asin B＝asin B，∴(S△ABC)2＝a2sin2B＝a2＝－(a2－12)2＋8，∴当a2＝12，即a＝2时，(S△ABC)＝8，∴(S△ABC)max＝2. [答案]　A 求解三角形中面积的范围(或最值)问题的方法 一般要由题目已知条件(三角恒等关系式、边角大小等)结合正、余弦定理，先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围． [对点训练]