专题一 第三讲 三角函数与解三角形的综合问题（教参）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（老教材新高考）

第三讲　三角函数与解三角形的综合问题 授课提示：对应学生用书第11页 1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asin C. (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos∠ABC. 解析：(1)证明：在△ABC中，由BDsin∠ABC＝asin C及正弦定理可得BD·b＝a·c，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，故BD＝b. (2)由AD＝2DC得AD＝b，DC＝， 在△ABD中，cos A＝＝＝， 在△ABC中，cos A＝＝. 故＝，化简得3c2－11b2＋6a2＝0， 又b2＝ac， 所以3c2－11ac＋6a2＝0，即(c－3a)(3c－2a)＝0， 所以c＝3a或c＝a. 当c＝3a时，b2＝ac＝3a2，所以b＝a， 此时a＋b<c，故a，b，c构不成三角形； 当c＝a时，b2＝ac＝a2，所以b＝a， 此时a，b，c可以构成三角形， 故c＝a，b＝a，所以在△ABC中，cos∠ABC＝＝＝. 2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析：方案一：选条件①. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝， 由此可得b＝c. 由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1. 方案二：选条件②. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝， 由此可得b＝c，B＝C＝，A＝. 由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2. 方法三：选条件③. 由C＝和余弦定理得＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c. 由③c＝b，与b＝c矛盾． 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 3．(2021·新高考全国Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求a；若不存在，说明理由． 解析：(1)2sin C＝3sin A⇒2c＝3a，∵c＝a＋2，∴2(a＋2)＝3a，∴a＝4，∴b＝a＋1＝5，c＝a＋2＝6，∴cos A＝＝＝，∴sin A＝＝， ∴S△ABC＝bcsin A＝×5×6×＝. (2)由于c>b>a，故要使△ABC为钝角三角形，只能是C为钝角． cos C＝<0⇒a2＋b2<c2⇒a2＋(a＋1)2<(a＋2)2⇒a2－2a－3<0⇒－1<a<3，又a>0，∴a∈(0,3)． 考虑构成△ABC的条件，可得a＋b>c⇒a＋(a＋1)>a＋2⇒a>1. 综上，a∈(1,3)．又a为正整数，∴a＝2，∴存在a＝2，使得△ABC为钝角三角形． [把脉考情] 考什么 1.三角函数的图象、性质与三角变换的综合题． 2．三角形中基本量的计算(涉及最值、范围问题)． 3．解三角形在平面图形中的应用. 新动向 1. 在解答题中会继续考查利用正、余弦定理求解三角形边、角、面积问题，常涉及最值、范围问题． 2．注意在平面四边形中考查解三角形应用. 授课提示：对应学生用书第12页 题型一　三角函数的图象与性质的综合问题 　　合作探究 [典例]　(12分)已知函数，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，，得到函数g(x)的图象． (1)求g(x)的解析式； (2)求g(x). [学审题] 条件信息 想到方法 注意什么 信息❶和差公式及降幂公式 利用三角恒等变换化f(x)为Asin(ωx＋φ)结构 (1)化简f(x)时，注意变换准确 (2)把握准平移变换规律，这一点易出错 (3)整体代入思想，转化与化归思想在解题过程中的应用 信息❷图象平移变换 三角函数图象平移变换规律 信息❸求g(x)在给定区间上的单调区间及值域 整体代换ωx＋φ研究单调性及值域 [规范解答]　(1)f(x)＝sin＋4cos2x ＝＋2(1＋cos 2x) ＝sin 2x－cos 2x＋2cos 2x＋2 ＝sin 2x＋cos 2x＋2＝sin＋2，4分 将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数 g(x)＝