专题一 第二讲 三角恒等变换与解三角形（教参）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（老教材新高考）

第二讲　三角恒等变换与解三角形 授课提示：对应学生用书第8页 1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－　　　B．－　　　C.　　　D. 解析： ＝ ＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θ·cos θ ＝ ＝＝＝. 答案：C 2．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝(　　) A.　　　　　　　　　B. C. D. 解析：法一：cos2－cos2＝cos2－cos2－＝cos2－sin2＝cos＝. 法二：cos2－cos2 ＝cos2－cos2 ＝2 －2 ＝2－2 ＝2－2 ＝×＝. 答案：D 3．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B. C. D．3 解析：法一：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，在△ABC中，由题意知b＝，c＝2，由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，即19＝4＋a2－2·2a·cos 120°，整理得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5(舍)，所以BC＝3. 法二：在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin C＝＝，又0°<C<60°，所以cos C＝＝，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，所以BC＝＝＝3. 答案：D 4．(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　　) A.＋表高 B.－表高 C.＋表距 D.－表距 解析：连接FD并延长交AB于点M，则AB＝AM＋BM，MF∥AC. 设∠BDM＝α，∠BFM＝β， 则－＝MF－MD＝DF. 又tan β＝，tan α＝， 所以－＝MB ＝MB， 因为GF＝ED，所以－＝， 所以－＝MB·＝DF， 又易知DF＝EG，所以MB＝＝＝， 所以海岛的高AB＝＋表高． 答案：A 5．(2021·浙江卷)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________；cos∠MAC＝________. 解析：由题意知，在△ABM中，AB＝2，∠B＝60°，AM＝2， 由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos B，即12＝4＋BM2－4·BM·， 解得BM＝4或BM＝－2(舍)． ∵M为BC的中点，∴BM＝MC＝4，BC＝8. 在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B， ∴AC2＝4＋64－2×2×8×＝52， ∴AC＝2. 在△AMC中，由余弦定理可得 cos∠MAC＝＝ ＝. 答案：2　 6．(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2. 解析： 如图，连接OA，过A作AP⊥EF，分别交EF，DG，OH于点P，Q，R. 由题意知AP＝EP＝7， 又DE＝2，EF＝12， 所以AQ＝QG＝5， 所以∠AHO＝∠AGQ＝. 因为OA⊥AH，所以∠AOH＝，∠AOB＝. 设AR＝x，则OR＝x，RQ＝5－x. 因为tan∠ODC＝，所以tan∠ODC＝＝， 解得x＝2，则OA＝2. 所以S＝S扇形AOB＋S△AOH－S小半圆 ＝××(2)2＋×4×2－π×12 ＝ cm2. 答案： [把脉考情] 考什么 1.三角函数的化简求值(给值求值，给角求值)． 2．利用正、余弦定理解三角形基本问题(求边、角、面积). 新动向 1.继续以选择、填空题形式考查三角恒等变换求值，注意与三角函数性质交汇考查． 2．继续以选择、填空题形式考查正、余弦定理的基本应用. 授课提示：对应学生用书第9页 题型一　三角恒等变换与求值　 　多维探究 (一)常规考法——考四基 1．若cos(3π－x)－3cos＝0，则tan x等于(　　) A．－　　　　　　　　　B．－2 C. D. 解析：∵cos(3π－x)－3cos＝0， ∴－cos x＋3sin x＝0， ∴tan x＝. 答案：D 2．(多选题)已知co