专题二 专题提能 透视数列高考热点，探求应对策略（教参）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（老教材新高考）

　　　　　　　　　　　　透视数列高考热点，探求应对策略 授课提示：对应学生用书第25页 数列是一种特殊的函数，其考查的重点是数列的通项、数列的前n项和、参数的取值范围的探求、数列不等式的证明等，研究的数列主要是等比数列与等差数列．数列的最值、周期性、单调性的探究，以及递推数列的相关综合题目，也是历年高考考查的热点. (一)数列单调性及应用 1．与等差数列的单调性有关的问题 [例1]　(2021·朝阳模拟)设{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和．能说明“若d＞0，则数列{Sn}为递增数列”是假命题的一组a1和d的值可以为________． [解析]　取a1＝－3，d＝1，则Sn＝－3n＋×1＝2－.所以当n≤3时，数列{Sn}为递减数列；当n≥4时，数列{Sn}为递增数列．因此“若d＞0，则数列{Sn}为递增数列”是假命题． [答案]　a1＝－3，d＝1(答案不唯一) 　破解此类题的关键：一是活用等差数列的性质与前n项和公式；二是判断数列的公差的符号，从而得出数列的单调性；三是根据相邻项异号，得出等差数列前n项和的最值． 2．与等比数列的单调性有关的问题 [例2]　已知在正项等比数列{an}中，a2＝1，a4＝，Sn表示数列{anan＋1}的前n项和，则Sn的取值范围是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. [解析]　设等比数列{an}的公比为q.∵a2＝1，a4＝，∴解得(负值已舍去)．∴an＝n－2，故anan＋1＝2n－3，∴Sn＝＜＝.∵数列{Sn}单调递增，当n＝1时，(Sn)min＝S1＝2，∴Sn的取值范围是. [答案]　A 　判断数列的单调性的方法 函数法：构造函数，通过判断所构造函数的单调性，即可得出相应数列的单调性． 定义法：利用单调函数的定义判断数列的单调性． [对点训练] 1．(2020·北京卷)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}(　　) A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 解析：设等差数列{an}的公差为d.由a1＝－9，a5＝－1，得d＝＝＝2，所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11.由an＝2n－11＝0，得n＝.而n∈N*，所以数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．易知T1＝－9＜0，T2＝63＞0，T3＝－315＜0，T4＝945＞0为最大项，自T5起均小于0，且逐渐减小．所以数列{Tn}有最大项，无最小项． 答案：B 2．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－1.若对任意正整数n，都有λSn＋1－Sn＜0恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．(－∞，1) B. C. D. 解析：当n＝1时，S1＝2a1－1，即a1＝2a1－1，解得a1＝1.当n≥2时，由Sn＝2an－1，得Sn－1＝2an－1－1.∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝1×2n－1＝2n－1.∴Sn＝2an－1＝2×2n－1－1＝2n－1.由λSn＋1－Sn＜0，Sn恒大于0，得λ＜＝＝＝－＜1.又＝＝，数列为单调递增数列，∴其最小项为＝，∴λ＜.∴实数λ的取值范围是. 答案：C (二)数列的周期性及应用 [例3]　数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项的积为Tn，则T2 020＝(　　) A．1 B．－6 C．2 D．3 [解析]　∵an＝，∴an＋1＝.∵a1＝2，∴a2＝＝＝－3，a3＝＝＝－，a4＝＝＝，a5＝＝＝2，…，∴数列{an}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4＝1.∵2 020＝505×4，∴T2 020＝T4＝1. [答案]　A 　若数列中的项按一定规律重复出现，则应考虑其是否具有周期性，求解周期数列问题的关键在于利用递推公式计算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期． [对点训练] 　(2021·陕西汉中五校月考)意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列的项被3整除后的余数构成一个新数列{bn}，则b2 020＝________. 解析：∵“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，∴此数列的项被3整除后的余数依次为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2，….观察可知新数列{bn}是以1,1,2,0,2,2,1,0为