专题二 第二讲 数列的综合问题（教参）-2022高考数学【优化探究】二轮专题复习（老教材新高考）

第二讲　数列的综合问题 授课提示：对应学生用书第20页 1．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． 解析：(1)因为bn＝a2n，所以b1＝a2＝a1＋1＝2， b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a1＋1＋3＝a1＋4＝5. 由题意得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1， 所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3， 所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1. (2)当n为奇数时，an＝an＋1－1. 设数列{an}的前n项和为Sn， 则S20＝a1＋a2＋…＋a20 ＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20) ＝[(a2－1)＋(a4－1)＋…＋(a20－1)]＋(a2＋a4＋…＋a20) ＝2(a2＋a4＋…＋a20)－10， 由(1)可知a2＋a4＋…＋a20＝b1＋b2＋…＋b10＝10×2＋×3＝155， 故S20＝2×155－10＝300，即{an}的前20项和为300. 2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100. 解析：(1)设{an}的公比为q. 由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8. 解得q＝(舍去)，q＝2. 由题设得a1＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n. (2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m＜2n＋1时，bm＝n.所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480. 3．(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解析：选①②作为条件，证明③. 证明：设等差数列{an}的公差为d，因为{}是等差数列，所以2＝＋，即2＝＋，两边平方，得4(2a1＋d)＝a1＋3a1＋3d＋2，整理得4a1＋d＝2，两边平方，得16a＋8a1d＋d2＝4(3a＋3a1d)，化简得4a－4a1d＋d2＝0，即(2a1－d)2＝0，所以d＝2a1，则a2＝a1＋d＝3a1. 选①③作为条件，证明②. 证明：设等差数列{an}的公差为d. 因为a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，所以d＝2a1. 所以等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋d＝na1＋·2a1＝n2a1. 又a1>0，所以＝n. 则－＝(n＋1)－n＝，所以数列{}是公差为的等差数列． 选②③作为条件，证明①. 证明：设等差数列{}的公差为d，因为＝，＝＝＝2，所以d＝－＝2－＝，则等差数列{}的通项公式为＝＋(n－1)＝n，所以Sn＝n2a1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1，且当n＝1时，上式也成立，所以数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)a1，则an＋1－an＝(2n＋1)a1－(2n－1)a1＝2a1，所以数列{an}是公差为2a1的等差数列． 4．(2021·全国乙卷)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<. 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q. ∵a1,3a2,9a3成等差数列，∴6a2＝a1＋9a3. 又∵{an}是首项为1的等比数列， ∴6a1q＝a1＋9a1q2， ∴9q2－6q＋1＝0，解得q1＝q2＝， ∴an＝a1·qn－1＝n－1. ∵bn＝，∴bn＝n·n. (2)证明：∵Sn为{an}的前n项和， ∴Sn＝＝. ∵Tn为{bn}的前n项和， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1×1＋2×2＋…＋nn，① Tn＝1×2＋2×3＋…＋nn＋1，② ①－②可得Tn＝＋2＋…＋n－n·n＋1＝－n·n＋1 ＝－n＋， ∴Tn＝－n＋， ∴Tn－＝－n·n<0，∴Tn<. [把脉考情] 考什么 1.等差、等比数列的基本量运算问题． 2．等差、等比数列的判定及应用． 3．数列通项及数列求和综合问题. 新动向 在解答题中，会继续考查等差、等比