解密08 等差、等比数列（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

解密08 等差数列、等比数列 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 等差数列 从近三年高考情况来看，等差数列和等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式及其性质，等差数列和等比数列的前n项和等为考查重点，有时会将等差数列和等比的通项、前n项和及性质综合考查，题型有选择题、填空题，也有解答题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用. 2021年全国甲7 2020新课标全国II 4 2019新课标全国Ⅰ 9 2019新课标全国Ⅲ 14 2018新课标全国Ⅰ 4 2018新课标全国II 17 ★★★★★ 等比数列 2020新课标全国Ⅲ 17 2020新课标全国Ⅰ17 2019新课标全国Ⅲ 5 2019新课标全国Ⅰ 14 2018新课标全国Ⅲ 17 ★★★★★ 等差数列与等比数列的综合 2021全国Ⅰ 17 2021新课标全国II 12 2021新课标全国II 17 2021年全国甲18 2020新课标全国II 16 2019新课标全国II 19 ★★ 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 ☆技巧点拨☆ 等差数列的判定与证明的方法： 定义法： 或 EMBED Equation.DSMT4 是等差数列； 定义变形法：验证是否满足 ； 等差中项法： 为等差数列； 通项公式法：通项公式形如 为常数 EMBED Equation.DSMT4 为等差数列； 前n项和公式法： 为常数 EMBED Equation.DSMT4 为等差数列． 注意： （1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项 ，使得 即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 等比数列的判定与证明常用的方法： （1）定义法： EMBED Equation.DSMT4 为常数且 数列 是等比数列． （2）等比中项法： EMBED Equation.DSMT4 数列 是等比数列． （3）通项公式法： EMBED Equation.DSMT4 数列 是等比数列． （4）前 项和公式法：若数列的前 项和 EMBED Equation.DSMT4 ，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意： （1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足 的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要 . 例题1．已知数列 的通项公式为 ，则（ ） A．数列 为等差数列，公差 B．数列 为等差数列，公差 C．数列 为等比数列，公比 D．数列 为等比数列，公比 【答案】B 【分析】∵数列 的通项公式为 ， ∴ ，故数列 为等差数列，且公差 .故选：B. 例题2．在等差数列 中，已知 ，则 （ ） A．30 B．31 C． D． 【答案】B 【分析】因为数列 是等差数列，由已知 ，可得 ，解得 ， 所以 . 故选：B 例题3．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， 是方程 的两根，则 （ ） A．60 B．116 C．29 D．58 【答案】D 【分析】因为 ， 是方程 的两根，故可得 ； 又因为 是等差数列，故 . 故选： . 例题4．已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ） A．数列 是公差为 的等差数列 B．数列 是公差为2的等差数列 C．数列 是公比为 的等比数列 D．数列 是公比为2的等比数列 【答案】C 【分析】∵ ，∴ ， 既不是等比数列也不是等差数列；∴ ， ∴数列 是公比为 的等比数列．故选：C 例题5．已知 ，若a，b， 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 （ ） A． 或5 B． 或12 C．5或12 D．1或5 【答案】B 【分析】：因为 ，不妨设 ， 因为a，b， 这三个数可适当排序后成等差数列， 所以可能是 或 或 或 ， 所以 或 ，因为适当排序后成等比数列， 所以数列为 或 ，即 .所以 或 ， 所以 或 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 或12.故选：B 考点二 等差数列、等比数列的性质 ☆技巧点拨☆ 等差（比）数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差（比）数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题. 应用等差数列性质的注意点： （1）熟练掌握等差数列性质的实质 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. （2）应用等差数列的性质解答问题的关键 寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条