解密08 等差、等比数列（分层训练）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）

( A组 基础练 )解密08 等差等比数列 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A．90 B．135 C． D． 【答案】C 【分析】设等差数列的首项为，公差为d，因为，，所以，，解得，，故故选：C 2．若数列满足，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】， 同理可得：， 可得，则. 故选:C. 3．已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：因为，所以， 又，所以， 所以的最小值为. 故选：C. 4．已知公差不为0的等差数列的第4，7，16项恰好分别是某等比数列的第4，6，8项，则该等比数列的公比是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为， 因为等差数列的第4，7，16项恰好分别是某等比数列的第4，6，8项， 可得，即，解得， 所以， 所以等比数列的公比为，所以. 故选：C. 5．已知首项为13的等差数列的前n项和为，且，，成等差数列．若，且，则（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为d，因为，所以，整理可得，． 又，所以．若， 则，故，又，所以． 故选：D 6．记数列的前n项和为，若，则（ ） A． B．是等差数列 C．是等比数列 D． 【答案】C 【分析】：当时，，，所以选项A错误； 因为， ， 所以， 化为 所以数列是等比数列. 所以选项B错误，选项C正确； ,所以选项D错误. 故选：C 7．已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为（ ） A．5 B．512 C．1024 D．2048 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为q， 因为，所以，解得， 因为与的等差中项为，则有，即，解得，所以，故，则， 所以．故选：C 8．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，….下列说法错误的是（ ） A．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为 B． C．使得不等式成立的的最大值为4 D．数列的前项和 【答案】C 【分析】由题可得，，，，， 则，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，则， 由题意可得，即，，，， 于是， 对A：连续三个正方形面积之和，正确； 对B：由上述分析B正确； 对C：令，则，而，错误； 对D：，正确． 故选：C 9．已知数列的前项和为，若，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，因为，所以. 当时，， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则.故选：A 10．已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，则a12+a22+⋯+an2＝（　　） A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D． 【答案】D 【分析】由等比数列的定义， 故 由于 故是以1为首项，4为公比的等比数列 a12+a22+⋯+an2＝ 故选：D 二、解答题 11．已知等差数列和等比数列满足，，，. （1）求和的通项公式； （2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和. 【答案】（1），；（2）. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， ∴，， ∴，. （2）当的前60项中含有的前6项时，令， 此时至多有项（不符）. 当的前60项中含有的前7项时，令， 且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项. ∴. 12．设是等差数列，前项和为；是各项均为正的等比数列，其前项和为，已知，，，. （1）求和； （2）若，求正整数的值. 【答案】（1），；（2）4. 【分析】（1）设等比数列的公比为， 由，，可得， ∴，∴. ∴. 又设等差数列的公差为， 由，可得； 由，可得， ∴，∴. （2）， 由有， ∴，解得或(舍)， 故的值为4. ( B组 提升练