3.1.1 数系的扩充和复数的概念-2021-2022学年高二数学理科选修系列精品教学课件 (人教A版)

第三章 数系的扩充 与 复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 1. 什么是虚数? 它的结构形式是怎样的? 2. 什么是虚单位? 它有什么特点? 学 习 要 点 3. 什么是复数? 它的范围包括哪些数? 问题1. 方程 x2=2 和 x2= -2 在什么样的数系范围内有解? 在什么样的数系范围内无解? 如果要使它们都有解, 怎么办? x2=2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数范围内就有解: x2= -2 在有理数范围内无解, 将数系扩充到实数范围还是无解. 要使 x2= -2 有解, 考虑把数系再扩充. 问题1. 方程 x2=2 和 x2= -2 在什么样的数系范围内有解? 在什么样的数系范围内无解? 如果要使它们都有解, 怎么办? 为了使 x2= -2 这样的方程有解, 我们把数系扩充, 引入一个数 i, 规定 i2 = -1. 将实数的运算法则同时引入, 则 (-i)2 = (-1i)2 = (-1)2i2 即 (±i)2 = -1. 同理 =2(-1)= -2. 则 x2= -2 时, x = = 1(-1) = -1. 问题1. 方程 x2=2 和 x2= -2 在什么样的数系范围内有解? 在什么样的数系范围内无解? 如果要使它们都有解, 怎么办? 为了使引进的数 i 与实数进行加, 减, 乘, 除等运算, 并适用实数的运算法则, 我们把数 i 与实数 a, b结合起来写成 a+bi 的形式. 当 b=0 时, a+bi=a 是一个实数; 当 b≠0 时, a+bi 就有一新引进的数 i, 这个数就是我们要学习的虚数. 我们把集合 C={ a+bi | a, bR } 中的数, 即形如a+bi (a, bR) 的数叫做复数, 其中 i 叫做虚数单位. 当 b=0 时, a+bi=a 是实数, 当 b≠0 时, a+bi 叫虚数.当 a=0, b≠0 时, a+bi=bi 叫纯虚数. 复数包含实数和虚数, 全体复数所成的集合 C 叫做复数集.