第14讲 简单几何体的表面积与体积-【寒假自学课】2022年高一数学寒假精品课（人教A版2019必修第二册）

第14讲 简单几何体的表面积与体积 【学习目标】 1. 认识简单几何题的表面积。 2. 认识简单几何题的体积。 【基础知识】 空间几何体的表面积与体积 　　名称 几何体 表面积 体积 柱　体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥　体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ S底h 台　体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝ (S上＋S下＋ )h 球 S＝4πR2 V＝ πR3 【考点剖析】 考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 例1．已知三棱锥 的顶点都在球O的球面上， 是边长为2的等边三角形，球 的表面积为 ，则三棱锥 的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设球的半径为 ，则 要使得三棱锥 的体积的最大，需 在过 中心的垂直于平面 的线上 设点 到平面 的距离为 ， 中心到点 的距离为 此时 ，即 ，解得 或 即三棱锥 的体积的最大值为 故选：B 考点二：圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 例2．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为 的半球．已知该胶囊的表面积为 ，则它的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设圆柱的高为 ， ， ； . 故选： . 【真题演练】 1. 如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积为（ ） A．15 B．18 C．30 D．90 【答案】D 【详解】 因长方体的长、宽、高分别是6，5，3，所以该长方体的体积为 . 故选：D 2. 如图，在三棱锥D-AEF中， 分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱 的体积为 ，三棱锥D-AEF的体积为 ，则 ___________. 【答案】 【详解】 设三棱柱 的高为 ，则三棱锥 的高为 ， 由题意知： ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故答案为： . 3. 直角坐标系 内有点P（-2，-1）､Q（0，-2），将△POQ绕x轴旋转一周，则所得几何体的体积为___________. 【答案】4π 【详解】 将△POQ绕x轴旋转一周，得到一个下底面半径为2，上底面半径为1，高为2的圆台，挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥形成的组合体，所以得到的几何体的体积为 . 故答案为： . 4. 在棱长为1的正方体 中，直线 与平面 之间的距离为________． 【答案】 【详解】 如图所示，连接 ， 则直线 与平面 之间的距离等于点 到平面 的距离， 即为三棱锥 的高，设三棱锥 的高 ， 因为正方体 的棱长为 ， 可得 ，所以 ， 由三棱锥 的体积为 ， 又由 ， 因为 ，可得 ，解得 ， 即直线 与平面 之间的距离为 . 故答案为： . 5. 在体积为 的直三棱柱 中， 为等边三角形，且 的外接圆半径为 ，则该三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设 的边长为a，由 的外接圆半径为 可得 ，故 ， 则 的面积 .由三棱柱的体积为 可得 ，故 ， 设三棱柱外接球的半径为R，则 ， 故该三棱柱外接球的表面积为 . 故选：A． 6. 已知正四棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，且正四棱锥 的底面面积为6，侧面积为 ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设正四棱锥的高为 ，顶点到底边的距离为 ，外接球的半径为 ，则根据题意有 解得 ， 又正四棱锥的高，底边的一半和顶点到底边的距离为直角三角形的三边长 解得 根据外接球的性质可知， 球 O的表面积为 ，选项C正确. 故选：C. 7. 已知在四棱锥 中， 底面 ，且底面 是等腰梯形， ．若 ， ， ，则四棱锥 P外接球的体积为______． 【答案】 【详解】 解：如图①，设 为底面 的外接圆的圆心，过点 作 于点 ， 过 作 ，分别交 于点 ，连接 ， ， 则 ， ， ． 因为 ，所以 ． 因为 ，即 ， 所以 ，解得 ， 所以 ，即底面 的外接圆的半径为 ． 如图②，过 作 底面 ，且 ，连接 ， 则 为四棱锥 的外接球的球心， 为四棱锥 外接球的半径． 因为 ， 所以四棱锥 外接球的体积为 ． 故答案为： 8. 点A，B，C在球O表面上， ， ， ，若球心O到截面 的距离为 ，则该球的体积为___________. 【答案】 【详解】 因为 ， ， ，所以 ，所以 ， 又球心O到截面 的距离为 ，所以球关系为 ． 球体积为 ． 故答案为： ． 【过关检测】 1. 在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上､下底面均为正方形）称为方亭.在方亭 中， ，