第02讲 直观图与简单几何体的表面积、体积（2个知识点+12大核心考点+变式训练+举一反三）（寒假衔接课堂）-2025年高一数学寒假衔接讲义（人教A版2019必修第二册）

第02讲 直观图与简单几何体的表面积、体积（2个知识点+12大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 斜二测画法辨析 题型二 斜二测法画平面图形的直观图 题型三 斜二测法画立体图形的直观图 题型四 由直观图还原几何图形 题型五 斜二测画法中有关量的计算 题型六 棱锥表面积的有关计算 题型七 棱台表面积的有关计算 题型八 柱体体积的有关计算 题型九 锥体体积的有关计算 题型十 圆柱表面积的有关计算 题型十一 圆锥表面积的有关计算 题型十二 球的表面积和体积 知识点一 空间几何体的直观图——斜二测画法 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相较于点O。画直观图时，把它们画成对应的x’轴和y’轴，两轴交于点O’，且使<x’o’y’=45度（或135度），它们确定的平面表示水平面。< span=""></x’o’y’=45度（或135度），它们确定的平面表示水平面。<> （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画呈平行于x’轴或y’轴的线段。 （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。 （4）z轴方向的长度不变 知识点二 几何体的表面积和体积 【核心考点一 斜二测画法辨析】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【答案】D 【分析】由斜二测画法得到的直观图，如正方形的直观图是平行四边形，据此可以判断选项正误. 【详解】如图，由斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形，可知ABC均错误，D正确． 故选：D. 【例2】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【答案】C 【分析】利用斜二测画法规则，结合给定的图形分析判断得解. 【详解】依题意，轴，轴，是的中点， 由斜二测画法规则知，在原图形中应有，且为边上的中线， 因此为等腰三角形，为边上的高，所以相等且最长，最短. 故选：C 【例3】（2025高三·全国·专题练习）直观图 （1）画法：常用 ． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，轴、轴的夹角为 ，轴与和轴所在平面 ． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 ，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的 ． 【答案】 斜二测画法 或 垂直 分别平行于坐标轴 不变 一半 【详解】略 【点睛】略 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）用斜二测画法画水平放置的空间图形直观图的步骤 （2）画直观图时，把它们画成对应的轴，，，使 （或）， ，所确定的平面表示水平平面． （4）已知图形中平行于 的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 的线段，长度取原来的一半． 【答案】 轴或轴 轴 【分析】略. 【详解】略. 【例5】（22-23高一·全国·课后作业）如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？ 【答案】答案见解析. 【分析】根据斜二测画法的规则判断可得； 【详解】解：根据斜二测画法规则知： ，故为直角三角形. 【点睛】本题考查斜二测画法的理解，属于基础题. 【核心考点二 斜二测法画平面图形的直观图】 【例1】（21-22高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果. 【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：    故选：C. 【例2】（23-24高一下·四川遂宁·期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】按照直观图的概念依次判断即可. 【详解】等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确， ③为的直观图，④为的直观图.    故可能是的直观图的有：③④. 故选：B. 【例3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图所示，用斜二测画法画出的水平放置的及边上中线的直观图是及，其中，试按此图判定原中的四条线段中最长的线段是 ；最短的线段是 . 【答案】 【分析】根据斜二测画法的定义即可判断求解. 【详解】由斜二测法可知原图形是个直角三角形，其中角为直角， 则有 故最长的线段为，最短的为. 故答案为：；. 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）画线 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成 【答案】平行于轴或轴的线段 【分析】略 【详解】略 【例5】（24-25高一下·全国·课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】运用斜二测画法画图即可. 【详解】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 【核心考点三 斜二测法画立体图形的直观图】 【例1】（21-22高一·全国·课后作业）一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 【答案】D 【分析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解. 【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm， 又因为斜二测画直观图的画法： 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变. 所以该建筑物按的比例画出它的直观图， 直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm和0.8cm． 故选：D. 【例2】．（2022高一·全国·专题练习）下列空间图形画法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间图形画法：看得见的线画实线，看不见的线画虚线.即可判断出答案. 【详解】D选项：遮挡部分应画成虚线． 故选:D. 【例3】（24-25高二·上海·课堂例题）利用“斜二测”法作长方体直观图时，需考虑 个方向上的尺度． 【答案】三 【分析】根据长方体直观图的“斜二测”画法作可得答案. 【详解】在绘制长方体的直观图时，需要考虑长方体的三个维度：长度、宽度和高度， 所以利用“斜二测”法作长方体直观图时，需考虑三个方向上的尺度. 故答案为：三. 【例4】（22-23高一·全国·课前预习）（1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. （2）画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. （3）画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都 . （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 【答案】不变 【分析】略 【详解】略 【例5】（24-25高一下·全国·课后作业）泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）． 【答案】答案见解析 【分析】按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图，以直四棱柱的上底面为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图. 【详解】先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图； 以直四棱柱的上底面为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图． 直观图如图所示． 【核心考点四 由直观图还原几何图形】 【例1】（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 【答案】B 【分析】画出原图可得答案. 【详解】 如图，画出原图， 在原平面图形中，是钝角， 从而． 故选：B. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 【答案】B 【分析】根据所给的图形中，可得到原图形为一个直角梯形． 【详解】因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 因为直观图中，， 所以原平面图形中，， 综上，原平面图形是直角梯形. 故选：B． 【例3】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为 ． 【答案】 【分析】根据直观图得到平面图形，利用勾股定理求出，即可得解. 【详解】由直观图可得如下平面图形： 因为，， 所以，， 所以在直角三角形中，. 故答案为：. 【例4】（23-24高一下·宁夏石嘴山·期中）如图，的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角三角形，从而可求出其面积. 【详解】由直观图还原平面图形如下所示： 在中，，，， 所以． 故答案为：． 【例5】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.    【答案】 【分析】利用斜二测画法性质还原出原图形即可得出原图形面积. 【详解】根据斜二测画法可知正方形的对角线长为， 画出原图形如下图所示：    原图为两直角边分别为的直角三角形组成的平行四边形， 所以原来图形的面积为. 【核心考点五 斜二测画法中有关量的计算】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直观图作出直角梯形的平面图形，然后斜二测画法规则结合已知的数据可求得结果. 【详解】由直观图作出直角梯形的平面图形，如图. 按照斜二测画法规则，由， 得直角梯形中，，. 过作，交于， 则， 所以直角梯形边的长度为， 故选：B. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中2，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【分析】根据直观图与原图的关系即可得解. 【详解】因为矩形中， 所以直观图还原得， 四边形为平行四边形，， 则，所以， ， ， 所以，故原图形为菱形. 故选：C. 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 【答案】 【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，从而可得，从而求得三角形的高，即可求解面积. 【详解】由直观图可知，原三角形边长为4，则边上的高为，所以， 所以的高是，所以的面积是. 故答案为：. 【例4】（2024高三·全国·专题练习）如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .    【答案】 【分析】根据斜二侧画法画平面图形的直观图的步骤，判断平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，再求出下底边长，代入梯形的面积公式计算即可． 【详解】平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形， 平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1， 梯形的下底边长为平面图形的面积. 故答案为：. 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．    【答案】作图见解析 【分析】以O为坐标原点建立平面直角坐标系，然后取，画出轴和轴；根据斜二测画法的原则，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的，由此可见得到直观图. 【详解】第一步：已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴，垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系，画相应的轴和轴，使, 第二步：在轴上截取，在轴上截取，过点作轴的平行线，在沿轴正方向取点，使得，连接, 第三步：所得四边形就是直角梯形的直观图.    【核心考点六 棱锥表面积的有关计算】 【例1】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）棱长都是1的三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三棱锥性质以及三角形面积计算公式可得结果. 【详解】棱长都是1的三棱锥的表面都是边长为1的正三角形，共4个； 所以其表面积为. 故选：A 【例2】（24-25高二上·北京·阶段练习）四面体的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体的表面积为，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设AB为x，由题可得表达式，即可得答案. 【详解】如图，设AB为x，因其他棱长为2，则. 取AB中点为E，则，又由题可得， 结合，由勾股定理，，则 则， 则. 当且仅当时取等号. 故选：B 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）四面体的四个面的面积之和称为该四面体的全面积.过全面积为500的四面体的每个顶点，作一个平面与另外三个顶点所在平面平行，则由作出的这四个平面所围成的新的四面体的全面积是 . 【答案】4500 【分析】根据题目条件分析出原四面体的顶点分别为新四面体各个面的重心，则根据相似比易得新四面体的全面积. 【详解】设原四面体为，过每个顶点作平行平面得到新四面体 如下图所示，设过全面积为的四面体的每个顶点作一个平面与另外三个顶点所在平面平行， 作出的这四个平面围成的新四面体为，显然是唯一的， 而当分别为各个面对应三角形的重心时， 连接交于点，连接交于点， 则有，且为中位线， 所以且， 同理可得且，且， 且，且，且. 即当分别为各个面对应三角形的重心时恰满足题目条件， 此时四面体的棱长为四面体对应棱长的三倍， 所以四面体的全面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于分析得新的四面体的棱长是原来四面体对应棱长的三倍，从而得解. 【例4】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 【答案】18 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积. 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为.    故答案为：18 【例5】．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 【答案】 【分析】将上面六棱锥的侧面积求出来，底面六棱柱的侧面积求出来，求和即可. 【详解】解：连接．因为，， 所以． 取的中点为Q，连接、PQ， 易得，， ． 设帐篷上部的侧面积为，下部的侧面积为， 所以， ，所以搭建帐篷的表面积为． 【核心考点七 棱台表面积的有关计算】 【例1】（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，求出侧高，得到侧面积. 【详解】如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为， 其中，故， 所以， 又，由勾股定理得， 其中，由勾股定理得， 故梯形的面积为， 其侧面积为. 故选：B 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 【答案】D 【分析】根据题意求出正四棱台的斜高，从而可求出棱台的侧面积，进而可求出其表面积. 【详解】由题意可知，正四棱台的斜高为， 故侧面积等于， 所以表面积为． 故选：D 【例3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量蜋食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为 . 【答案】 【分析】根据棱台表面积公式，结合正方形的面积公式、等腰梯形的面积公式进行求解即可． 【详解】如下图所示：，，， 所以， 所以该四棱台的表面积为：， 故答案为：． 【例4】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）若某正四棱台的上、下底面边长分别为3、9，侧棱长是6，则它的表面积为 . 【答案】/ 【分析】作出辅助线，得到棱台的侧高，进而求出棱台的侧面积和表面积. 【详解】四棱台中，过点分别作于点， 则，则， 又，由勾股定理得， 故梯形的面积为， 故它的表面积为. 故答案为： 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是．求这个正三棱台的侧面积． 【答案】 【分析】作出示意图，点，分别是上、下底面的中心，则，连接并延长交于点，连接并延长交于点，过作的垂线，垂足为点；连接． 可求得，进而可求得，可求三棱台的侧面积. 【详解】如图，点，分别是上、下底面的中心，则． 连接并延长交于点，连接并延长交于点； 过作的垂线，垂足为点；连接． 在中，， ， ． 所以． 因此，三棱台的侧面积为． 【核心考点八 柱体体积的有关计算】 【例1】（24-25高二上·上海·期中）设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．、的大小不确定 【答案】C 【分析】由题意分别得出以、两边为轴旋转形成的几何体，根据体积公式求解即可. 【详解】以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱， ， 以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱， ， 因为，所以， 所以. 故选：. 【例2】（2024高二下·福建·学业考试）圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得. 【详解】圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积. 故选：D 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示，一个输液瓶的圆柱部分装有药品，输液瓶直径为6cm，一位患者通过输液管进行输液，输液管内径约0.3cm，已知输液管内液体的流量速率（单位：）与管道半径（单位：cm）存在如下函数关系：，2h后输液完毕，则液面高度约为 cm．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】8 【分析】求出经过输液管的液体总体积即输液瓶内药品总体积，由圆柱体积公式可得答案. 【详解】输液管内液体的流量速率与管道半径的函数关系， 其中，可得，2h后输液完毕， 则经过输液管的液体总体积， 即输液瓶内药品总体积为， 根据圆柱体积可知，解得． 故答案为：8. 【例4】（2024·广东·模拟预测）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为 【答案】 【分析】将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱，求出圆柱的体积即可得答案. 【详解】将如图所示的相同的两个几何体拼接为圆柱， 则圆柱底面半径为，高为， 体积为， 则该几何体的体积为圆柱体积的一半， 即. 故答案为： 【例5】（24-25高一上·河南南阳·期中）平均值不等式（，，…，，当且仅当时等号成立）是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究中占有重要的位置，在不等式证明、数列收敛性证明、函数性质分析、数学建模和优化问题等方面，平均值不等式常常能够发挥关键作用.当时，可得基本不等式（a，，当且仅当时，等号成立）.当时，可得，（a，b，，当且仅当时，等号成立），而利用该不等式我们可解决某些函数的最值问题，例如：（）求函数）的最小值我们可以这样处理：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. (1)请利用当时的结论解决下面问题：已知，，，求证：； (2)请利用当时的结论解决下面问题： ①已知，求的最小值； ②已知矩形ABCD的周长为6，设（），将其绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的体积为V，求V的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①6；②； 【分析】（1）列出满足的基本不等式相加即可； （2）①配凑再利用结论求解即可； ②设（），由圆柱体积公式得表达式，再配凑根据求解即可. 【详解】（1）因为，，，所以由基本不等式，得 ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 以上三式相加，得， 即，当且仅当时，等号成立. （2）① 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为6． ②设（），则，由圆柱体积公式得： 当且仅当，即时等号成立， 即V的最大值为. 【核心考点九 锥体体积的有关计算】 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】找到圆锥高和底面半径的关系，建立方程求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面为正三角形， 所以圆锥的高为，因为圆锥的体积为， 所以，解得， 故圆锥的高为，故A正确. 故选：A 【例2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得. 【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意可得，解得， 所以. 该圆锥体积为 故选：B 【例3】（24-25高三上·福建厦门·期中）已知正四面体ABCD的棱长为，其外接球的球心为O.点E满足，，过点E作平面平行于AC和BD，当时，平面截球O所得截面的周长为 ；当时，将正四面体ABCD绕EF旋转90°后与原四面体的公共部分体积为 . 【答案】 【分析】①平面截球O所得截面的周长可根据球的性质分析运算； ②根据正方体分析可得：两个正四面体的公共部分两个全等的正四棱锥组合而成，利用锥体体积公式运算求解. 【详解】①正四面体ABCD的外接球即为正方体的外接球，其半径， 设平面截球所得截面的圆心为，半径为， 当时，则， ∵，则， ∴平面截球O所得截面的周长为. 故答案为： ②如图2，将正四面体绕旋转后得到正四面体， 设， ∵，则分别为各面的中心， ∴两个正四面体的公共部分为，为两个全等的正四棱锥组合而成， 根据正方体可得：，正四棱锥的高为， 故公共部分的体积. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于正四面体的相关问题时，我们常转化为正方体，利用正方体的性质处理相关问题. 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且，现沿平面将该三棱柱截成两部分，则几何体的体积为 ． 【答案】96 【分析】由勾股定理和已知比例式确定，的位置，再分别在，上取点，使得，连接，由三棱柱和四棱锥的体积公式计算即可； 【详解】由题意知，，，，则， 由，且，所以，，， 如图，分别在，上取点，使得，连接， 则几何体可看作由直三棱柱和四棱锥组成， 因为，， 故所求几何体体积为．    故答案为：96. 【例5】（24-25高二上·上海·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)周长为，面积为； (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据题意做出截面，即可得到截面周长和面积； （2）找到两个临界情况，由此得出的取值范围； （3）根据（2）的进行分类，做出可能的图，分别设的长，由线段成比例分别表示出线段的长，用线段长表示出其中一个解得立体图形的体积，然后解方程得到的长，即可得出的值. 【详解】（1）作图：取中点，连接这六个点即可得到截面， 由图可知截面是边长为的正六边形， ∴周长为，面积为； （2）分别找出截面为六边形的两种临界情况，分别如下图所示： 情况①         ∵为中点，∴，即， ∵， ∴， 情况② ∵为中点，∴，即， ∵， ∵，即 ∴， 故 （3）（1）如图，截面与相较于点，延长相较于点，连接交与点， 设（），∵，∴， ∵为中点，∴， 延长相交于点，延长相交于点， ∵为中点，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 正方体被截得的其中一个多面体体积为， 则， ， 整理得，解得， ∵，∴， 即， （2）如图： ∵点为中点，∴， ∵点G为中点，∴， 设（），则， 又∵，即，∴， ∵，即，∴， ∵，即，∴ 其中一个多面体体积为 则 化简得，即 ∴或，∵， ∴， 即 综上所述，这样的点存在，或 【点睛】思路点睛，本题讨论的是正方体被平面所截的截面以及截得的两个立体图形的体积.解题的关键是数形结合，通过作图找到特殊点，从而解决（2）的范围；由（2）的思路，同样做出可能得图像，利用三棱柱的体积来求多面体体积，从而解得的值. 【核心考点十 圆柱表面积的有关计算】 【例1】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设内接圆柱的底面半径为，高为，可得，再由圆柱的表面积公式，代入计算，即可求解. 【详解】设内接圆柱的底面半径为，高为， 因为圆锥的底面半径为1，高为3， 由相似三角形可得，则， 则圆柱的表面积为 ， 即 所以当时，内接圆柱的表面积取得最大值为. 故选：C 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值． 【详解】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，， 全面积为，而侧面积为， 所以全面积与侧面积之比这． 故选：A 【例3】（24-25高三上·上海黄浦·期末）若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式直接计算可得. 【详解】由题意，圆柱的侧面积为：. 故答案为： 【例4】（24-25高二上·上海·期中）底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为 .（结果保留） 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面展开图为矩形，结合数据得到矩形的长和宽，即可计算圆柱的侧面积. 【详解】圆柱侧面展开图为矩形，长为圆柱底面圆周长，宽为圆柱的高. 故圆柱的侧面积为. 故答案为：. 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）要给一批共10000根相同规格的空心钢管镀锌，钢管的长度为1m，内外直径分别为8cm与10cm．若电镀这批钢管每平方米要用锌0.11kg，求需要用锌的总量．（结果精确到0.01kg） 【答案】 【分析】利用圆柱的表面积公式求解即可得. 【详解】圆柱上下两底面圆环面积， 圆柱外侧面积， 圆柱内侧面积， 所以每根空心钢管的表面积， 所以需要锌的总量约为. 【核心考点十一 圆锥表面积的有关计算】 【例1】（24-25高三上·天津·期中）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和相似，可得，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案. 【详解】圆锥的高为，如图， 由和相似，可得，所以， 所以, 则圆柱侧面积， 圆锥侧面积，所以. 故选：D． 【例2】（24-25高三上·宁夏·期中）若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的特征先计算底面圆半径，面积，周长，结合圆锥的表面积公式计算即可. 【详解】由题意可知该圆锥母线2，高为；底面圆半径为1，则其周长为，面积为， 所以该圆锥的侧面积为，表面积为. 故选：B 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知一个圆锥的高为，且侧面展开图恰是一个半圆，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据侧面展开图为半圆可求，再根据高求出底面半径后可求侧面积. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则，故， 故，故，从而，故侧面积， 故答案为：. 【例4】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为 . 【答案】 【分析】根据题意可知，结合圆锥的侧面积公式运算求解即可. 【详解】设底面圆的半径为，可知母线长， 所以该圆锥的侧面积与底面积之比为. 故答案为：. 【例5】（2024高三·全国·专题练习）中，已知，，，分别以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求其表面积. 【答案】答案见解析 【分析】分别以三角形的一边，和所在直线为轴，形成一个或两个圆锥，由圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】因为，，，所以，即， ①以三角形的一边所在直线为轴，作于，如下图所示： 可以看作两个直角三角形绕各自的直角边旋转而成，所以形成的几何体是两个同底的圆锥， 则， 此时这两个圆锥以为半径，母线长分别为， 所以其表面积为， ②以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体， 所形成的几何体是以为底面半径，母线长为的圆锥， 所以其表面积为：， ③以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体， 所形成的几何体是以为底面半径，母线长为的圆锥， 所以其表面积为：. 【核心考点十二 球的表面积和体积】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的底面半径与球的半径相等，且圆锥的侧面积与球的表面积相等，则该圆锥的体积与该球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为，由已知可得，，计算可求得圆锥的体积与该球的体积之比. 【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为． 由，得，， ，则． 故选：B． 【例2】（24-25高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由柱体的体积可得，长方体外接球的半径为，由基本不等式求出的最小值即可求出外接球表面积的最小值. 【详解】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）表面积为 的球的体积是 . 【答案】 【分析】设球的半径为，根据表面积求出，再由球的体积公式计算可得. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以球的体积. 故答案为： 【例4】（2024高二上·云南·学业考试）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作球体教具，他们制作的球体，半径为，这种球体的表面积是 . 【答案】 【分析】利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，半径为的球体的表面积为. 故答案为：. 【例5】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.    (1)求“浮球”的体积： (2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 【答案】(1) (2)克 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出个的面积，即可求解. 【详解】（1）该半球的直径，柱筒高，所以“浮球”的圆柱筒直径也是， 得球的半径与圆柱底面半径均为， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以个“浮球”的表面积为， 因此，个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 【变式训练1 斜二测画法辨析】 1．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的作图规则结合反例，判断各选项. 【详解】如图：四边形为正方形， 由斜二测画法可得其直观图如下： 对于A，因为，而， 故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误，A错误； 对于B，因为，而 故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确，B正确； 对于C，由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行，C正确； 对于D，因为，而不垂直， 所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确. 故选：A. 2．（22-23高一·全国·课后作业）利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（　　） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由斜二测画法规则直接判断即可. 【详解】由斜二测画法规则知：①正确； 平行性不变，故②正确； 正方形的直观图是平行四边形，③错误； 因为平行于轴的线段长减半，平行于轴的线段长不变，故④错误． 故选：A． 3．（24-25高二·上海·随堂练习）根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，则∠x'O'y'的度数为 ，∠x'O'z'的度数为 ． 【答案】 45°或135° 90°或135° 【分析】根据斜二测画法的规则求解. 【详解】根据斜二测画法的规则，的度数应为45°或135°． 指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°或135°． 故答案为：45°或135°，90°或135° 4．（24-25高二上·上海·课前预习）平面直观图与斜二测画法 为了把空间图形画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分位置关系和度量关系，我们通常采用 画空间图形的 ． 【答案】 斜二测画法 直观图 【分析】根据平面直观图与斜二测画法的定义可得答案. 【详解】为了把空间图形画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分位置关系和度量关系， 我们通常采用斜二测画法；画空间图形的直观图． 故答案为：①斜二测画法；②直观图. 5．（24-25高二上·上海·课前预习）斜二测画法画空间几何体直观图的基本步骤是什么？ 【答案】答案见解析 【详解】斜二测画法的基本步骤： （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系xOy，直观图中画成斜坐标系，两轴的夹角为45°，轴水平； （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段； （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半. 【变式训练2 斜二测法画平面图形的直观图】 1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）用斜二测画法，可得矩形的直观图一定为（    ） A．矩形 B．梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】由斜二测画法规则能直接得到答案. 【详解】由斜二测画法规则知：平行性不变，矩形的直观图一定是平行四边形，平行x轴的线段长度不变，平行y轴的线段长度减半， 故选：D. 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则，即可得出结论. 【详解】斜二侧画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 如图所示： 所以的对应点画对了,的对应点画错了. 故选：C. 3．（2024高一下·全国·专题练习）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的 .（填序号） 【答案】③ 【分析】直接根据斜二测画法的规则求解. 【详解】正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的比为， 故答案为：③ 4．（23-24高二上·辽宁·开学考试）已知矩形，采用斜二测画法做出其直观图，若其直观图的面积为，则矩形的周长可以为 ． 【答案】8（答案不唯一，大于或等于8即可） 【分析】根据题意，由直观图的面积与原图的面积关系，结合基本不等式即可得到结果. 【详解】设矩形的长与宽分别为，根据斜二测画法可知，直观图的面积与原图的面积之间满足，即，所以，则，当且仅当时取得等号，所以矩形周长的最小值为8，故矩形的周长可以为8，9，10等． 故答案为：8 5．（23-24高二·上海·课堂例题）在水平放置的平面上有一个边长为3cm的正三角形，请画出其直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图； 【详解】解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，在轴上截取， 连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示. 【变式训练3 斜二测法画立体图形的直观图】 1．（22-23高一上·河北衡水·周测）下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】由题意知，应看到正方体的上面、前面和右面， 由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知选A. 【点睛】本题主要考查几何体的直观图的识别，熟记几何体直观图的画法及一般要求即可，属于常考题型. 2．（2022高三·北京·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到几何体的原图，再根据原图找到直观图. 【详解】由题得几何体原图是如图所示的三棱锥A-BCD，所以这个几何体的直观图是C. 故答案为C 【点睛】（1）本题主要考查三视图还原几何体原图，考查直观图的画法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 通过三视图找几何体原图的方法有三种：直接法、拼凑法和模型法.本题利用的是模型法. 3．（23-24高二上·新疆昌吉·开学考试）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中，则三角形的面积为 ．    【答案】 【分析】将图还原成正三角形，求出其面积，再根据面积比即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 因为，所以，且为正三角形， 则， 因此在中，， ∴， 故答案为：． 4．（21-22高一·全国·课后作业）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 画轴 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使 （或 ），它们确定的平面表示 画线 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 取长度 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的 用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画轴，轴过点，且与轴的夹角为，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 几何体直观图的画法规则 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z之轴，并且使平行于z轴的线段的 和 都不变． 【答案】 轴和轴的线段 长度 一半 平行性 长度 【解析】略 5．（24-25高二·上海·课堂例题）用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图． 【答案】作图见解析 【分析】利用斜二测画法可得直观图. 【详解】（1）先建立如图所示的空间直角坐标系，其中； （2）在轴的正半轴上截取线段，在轴的正半轴上截取线段， 过作轴的平行线，过作轴的平行线，交点为，平行四边形为长方体的底面的直观图， （3）在轴的正半轴上截取，过分别作轴的平行线，在这些平行线上分别截取， （4）顺次连接， 由上述4步则可得如图所示的长、宽、高分别为5、3、3的长方体的直观图. 【变式训练4 由直观图还原几何图形】 1．（21-22高一下·浙江台州·期中）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，那么（ ） A．的长度大于的长度 B．的面积为2 C．的面积为4 D． 【答案】C 【分析】根据直观图，画出原图形，可知，且为中点，根据等腰三角形的边角关系，可直接得出结论. 【详解】依题意是的中点，且轴，轴，，， 中，， 中，，，，， ，所以A选项错误. ，C选项正确. ，B选项错误. 由于， 所以三角形不是等腰直角三角形，所以D选项错误. 故选：C 2．（2024高一下·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ） A． B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】利用斜二测画法的知识结合平面图形的周长求解. 【详解】根据斜二测画法得出原图形四边形的性质，然后可计算周长． 由题意， 所以原平面图形四边形中，，，， 所以， 所以四边形的周长为：． 故选：B． 3．（23-24高二上·上海金山·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为 ．    【答案】 【分析】根据斜二测画法的作图规则，得出原图形，进而解得原图形的面积. 【详解】解：根据题意，斜二测直观图是边长为1的正方形如图1所示，    其中，， 根据斜二测画法规则，还原为如图2所示的原图， 其中，，， 所以原图形的面积为.    故答案为：. 4．（23-24高二上·上海虹口·期中）如图所示，是的直观图，则的面积 （请用数字填写）． 【答案】2 【分析】根据直观图画出平面图，然后计算的面积即可. 【详解】如图所示， 根据直观图画出平面图，由图可知， 故答案为：2 5．（22-23高一下·全国·课后作业）如图所示，为按斜二测画法所得直观图，绘出原图形． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则，即可画出原图形. 【详解】如图（1）所示，设直观图四边形与轴交于点，可得， 如图（2）所示，根据斜二测画法的规则，可得， 过点作，取且，得到四边形， 即直观图四边形对应的原图形为. 【变式训练5 斜二测画法中有关量的计算】 1．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的直观图可得，，，再利用角平分线定理可求得，再由勾股定理可得结论. 【详解】易知为直角三角形，且，，由勾股定理可得， 设角A的角平分线交BC于D，如下图所示：    根据角平分线性质知， 又因为，所以，， 所以， 故选：D． 2．（23-24高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【分析】由图形和通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边，，且，故三角形为等比三角形. 【详解】由图形知，在原中，，因为，则， 因为，则，所以，即原是一个等边三角形； 故选：B 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直观图的面积，再利用原图形面积是直观图面积的求解即得. 【详解】依题意，矩形的面积， 由原图形面积是直观图面积的，得原图形面积. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 【答案】 【分析】先推导出原三角形的面积与其直观图面积之间的关系，并求出的面积，由此可得出的面积. 【详解】不妨设的底边，点到边的距离为，则，如下图所示： 在斜二测直观图中，如下图所示： 点到直线的距离为， 所以，，则， 本题中，在直观图中，， 则为等边三角形，则， ， 所以，， 所以，， 则. 故答案为：. 5．（2024高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【答案】（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4） 【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果； （2）由直观图可知，即为直角三角形； （3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果； （4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果. 【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ； （2）由斜二测画法规则知， 故原为直角三角形； （3）由已知可得在中，，， 故； （4）原三角形面积为，画直观图后，，， ． 【变式训练6 棱锥表面积的有关计算】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 【答案】A 【分析】由已知，利用勾股定理先求出侧棱长，再利用三角形的面积公式，即可求出表面积. 【详解】 如图，由已知，两两垂直，且， 为等边三角形，， 在中， 所以， 所以此棱锥的表面积是 . 故选：A. 2．（23-24高一下·福建三明·期末）福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出示意图，求出底边正方形的边长，得出正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形，再根据等边三角形的面积即可求解. 【详解】如图，正四棱锥，截面为等腰直角三角形， 因为， 所以， 又因为四边形为正方形，设边长为， 由勾股定理得，， 解得，， 所以正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形， 所以. 故选：D.    3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 【答案】 【分析】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为，高为2的四棱锥组成，从而可求出其表面积. 【详解】由题意知所得几何体是八面体，且八面体是由两个底面边长为，高为2的四棱锥组成， 则该八面体的表面积是这两个四棱锥的侧面积之和． 又四棱锥的侧棱长为， 所以以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·课前预习）正棱锥的表面积 正棱锥的每个侧面都是 ，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为．如果棱锥底面多边形的周长是c，底面面积是，那么棱锥的侧面积 ，表面积 ． 【答案】 全等的等腰三角形 【分析】略 【详解】略 5．（22-23高一·全国·随堂练习）仓库的房顶呈正四棱锥形，量得底面的边长为2.6m，侧棱长2.1m，现要在房顶上铺一层油毡纸，那么所需油毡纸的面积是多少？ 【答案】 【分析】求出一个侧面面积，再由四个侧面全等得出正四棱锥侧面积. 【详解】正四棱锥的侧面为全等的4个等腰三角形， 设一个等腰三角形底边上的高为，由题意则， 故正四棱锥的侧面积为. 故所需油毡纸的面积是. 【变式训练7 棱台表面积的有关计算】 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 【答案】C 【分析】先根据正四棱台的结构特点，求出斜高，在根据侧面积的计算方法求其侧面积. 【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为， 所以侧面梯形的斜高为， 所以棱台的侧面积为. 故选：C 2．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）石墩随处可见，形状各异，美化了我们的环境，已知某正四棱台石墩的上、下底面边长分别为40cm，58cm，侧棱长为41cm，则该石墩的侧面积为（    ） A．8036cm2 B．13000cm2 C．7840cm² D．12804cm² 【答案】C 【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值． 【详解】设，，，可得正四棱台的斜高为， 所以棱台的侧面积为． 故选：C． 3．（23-24高三上·山东·阶段练习）如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为 ．      【答案】 【分析】首先根据正棱台的侧面积得到斜高为1，再计算正棱台的高即可. 【详解】如图所示：      设正四棱台的侧高为，高为， 棱台的侧面积，所以. 所以. 故答案为： 4．（22-23高三下·山东菏泽·开学考试）在正四棱台中，，，，则该棱台的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】过作，求出四棱台的侧面面积、上下底面积可得答案. 【详解】如图，过作，垂足为， 所以为四棱台的侧面的高，   因为， 则，, ， 所以正四棱台的侧面积为， 正四棱台的上底面积为，正四棱台的下底面积为， 则该棱台的表面积为. 故答案为：.    5．（2024高一下·全国·专题练习）已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 【答案】 【分析】根据勾股定理求解侧面的高，即可利用表面积公式求解. 【详解】如图所示，画出正三棱台， 其中为正三棱台上、下底面的中心，分别为的中点， 则为正三棱台的高，为侧面梯形的高，四边形为直角梯形， ,, 所以, 所以此三棱台的表面积,    【变式训练8 柱体体积的有关计算】 1．（2021高二上·新疆·学业考试）在长方体中，长，宽，高，则它的体积是（    ） A．60 B．50 C．40 D．30 【答案】A 【分析】根据长方体的几何结构特征，结合柱体的体积公式，即可求解. 【详解】在长方体中，因为， 由柱体的体积公式，可得长方体的体积为. 故选：A. 2．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直三棱柱的底面面积为，在图中，设水面的高度为，根据图和图中水的体积相等可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】记棱，，，的中点依次为， 设直三棱柱的底面面积为， 在图中，设水面的高度为，则水的体积为， 在图中，几何体为直四棱柱， 因为分别为棱，，，的中点，所以， 则水的体积为，解得. 故选：C. 3．（24-25高二上·上海静安·期中）圆柱的轴截面为边长为的正方形，则圆柱的体积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱的体积公式来求得正确答案. 【详解】依题意，圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的体积为. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·期中）正四棱柱的底面边长为2，高为3，则它的体积为 【答案】12 【分析】由棱柱体积公式直接计算可得. 【详解】由题知，正四棱柱的底面面积为， 所以，正四棱柱的体积为. 故答案为：12 5．（24-25高一下·全国·课前预习）同一摞书，当改变摆放书的形式时（如图），该摞书的总体积是否会改变？ 【答案】不变 【详解】同一摞书，当改变摆放书的形式时（如图），该摞书的总体积是不会改变， 改变前后两个几何体均为棱柱，底面面积相同，高相等，由柱体体积可得体积不变. 【变式训练9 锥体体积的有关计算】 1．（24-25高二上·北京·期中）正四棱锥的底面边长为2，高为2，该四棱锥的体积是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】A 【分析】根据锥体的体积公式运算求解即可. 【详解】因为正四棱锥的底面边长为2，高为2， 所以四棱锥的体积是. 故选：A. 2．（24-25高二上·广东广州·期中）正三棱柱各棱长均为，为的中点，那么四面体 的体积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出图，然后表示出四面体的体积，再计算即可求得. 【详解】如图所示，   为正三棱柱，且棱长均为 底面为正三角形，侧面为正方形，则 故选：D. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风铃可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中厘米，厘米，厘米，若不考虑铃舌，则风铃的体积为 立方厘米．（保留两位小数） 【答案】 【分析】由圆锥的体积公式即可求解． 【详解】根据题意，风铃的体积约为， 故答案为： 4．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）已知某圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】先求出圆锥底面的半径，再由圆锥的体积公式求解． 【详解】圆锥的底面半径为：， 则圆锥的体积为：． 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相似得到，代入体积公式计算即可. （2）根据体积的关系结合圆锥体积公式解方程得到答案. 【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为， 如图，由相似性可知，则， ； 故水的体积为. （2）由相似性可得，则， ， 化简得，解得. 故约为. 【变式训练10 圆柱表面积的有关计算】 1．（24-25高二上·安徽滁州·开学考试）以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高求出即可； 【详解】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高， 侧面积， 故选：D. 2．（23-24高一下·山西大同·期中）已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆柱的表面积公式计算即可求解． 【详解】设圆柱的底面半径为，母线为，则， 所以，所以， 故选：B． 3．（2024·山东威海·一模）已知底面半径为3的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为 . 【答案】 【分析】作出圆锥的轴截面，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据侧面积公式计算可得. 【详解】如图作出圆锥的轴截面，根据题意可知, , 所以可得, 根据三角形相似可得, 所以,可求得, 根据圆柱侧面积公式可得. 故答案为：    4．（24-25高二上·上海·期中）若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据侧面积公式表示出侧面积，然后利用基本不等式求解出最大值即可. 【详解】由题意可知：圆柱的母线长度为， 侧面积， 当且仅当，即时取等号， 所以侧面积的最大值为， 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）一个圆柱形的锅炉，底面直径，高．求锅炉的表面积（精确到）． 【答案】 【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形可求圆柱的表面积. 【详解】 ． 因此，锅炉的表面积约为． 【变式训练11 圆锥表面积的有关计算】 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知底面半径为2的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱侧面积与圆锥侧面积的比值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】借助于轴截面求圆柱的高为，再结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解. 【详解】作出轴截面，如图所示， 由题意可得：，可知分别为的中点， 则分别为的中点，则， 可得；，所以比值为． 故选：C． 2．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为6m，高为4m，则该屋顶的面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件求出母线，再运用圆锥侧面积公式求出侧面积，即为屋顶的面积. 【详解】由题知，圆锥底面圆半径，高， 则母线， 因此圆锥的侧面积为. 即屋顶的面积为. 故选：A. 3．（24-25高三上·上海松江·期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的高为 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用侧面积公式求出母线长，进而求出圆锥的高. 【详解】圆锥的底面半径，设其母线长为，则，解得， 所以该圆锥的高. 故答案为：4 4．（2025高三·全国·专题练习）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 【答案】 【分析】略. 【详解】略. 5．（2023高二上·上海·专题练习）如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，底面半径与的夹角为，且.求该圆锥的表面积. 【答案】 【分析】 根据圆锥的侧面积公式及圆的面积公式求解. 【详解】 圆锥的侧面积公式， 底面圆的面积， 故圆锥的表面积. 故答案为： 【变式训练12 球的表面积和体积】 1．（24-25高三上·河北保定·期中）若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】利用球的体积公式和表面积公式列方程求解即可. 【详解】由题意，所以. 故选：B 2．（22-23高二下·河北石家庄·期末）已知球的表面积为，则该球的体积是（    ）cm³ A．64π B．144π C．288π D．216π 【答案】C 【分析】先求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则， 所以球的体积为. 故选：C 3．（24-25高三上·上海·期中）在中， ， P为内部一动点(含边界)，在空间中，若到点的距离不超过的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 . 【答案】 【分析】首先确定到点的距离为的点的轨迹所构成的空间几何体，可知是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果. 【详解】空间中，到点的距离为的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面的角度看， 如下图所示：    其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱； ，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为； 区域内的几何体是高为的直三棱柱. 四边形和为矩形，，， 同理可得：，， ， ，，区域内的几何体合成一个完整的半径为的球， 则，，区域内的几何体的体积之和； 又，和区域内的几何体的体积之和； 因为在中，，所以， 所以，所以， 所以区域内的直三棱柱体积， 故几何体L的体积等于. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的动点轨迹问题，解题关键是确定所求动点的轨迹形成的空间几何体，进而由对应几何体的体积公式求得结果. 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知球的体积是，则这个球的表面积是 . 【答案】 【分析】求出球体的半径，利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】设该球的半径为，则球的体积为，解得， 因此，该球的表面积为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点在球的表面上，且，，．若球心与中点的连线长为4，求球的表面积． 【答案】 【分析】计算出外接圆的半径，然后利用勾股定理计算出球的半径，最后利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】解：，，， ，即是以为斜边的直角三角形． 平面被球所截得的图形是以线段为直径的圆． 设截面圆的圆心为，则为线段的中点，且，则， 由已知，球心与平面的距离即为球心与中点的连线长， 球的半径． 球的表面积． 1．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，为水平放置的的直观图，的面积为，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜二测画法规则还原直观图，根据面积比例关系求解可得. 【详解】由，则， 如图，作出还原后，则， 故，所以. 故选：C.   2．（24-25高二上·重庆·开学考试）如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用斜二测画法得到原图矩形中，，从而求出面积. 【详解】平行四边形，由斜二测画法得，在原图矩形中，，为正方形， 故该图形的面积为． 故选：A. 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）如图，三棱柱中，是上靠近的三等分点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定出截面的位置，然后采用割补法结合替换顶点求解出，由此可求解出的值. 【详解】取靠近的三等分点，连接，如图所示， 因为分别是靠近的三等分点， 所以且，所以，所以四点共面； 设三棱柱的高为，三棱锥体积，因为， 所以 ， ， 所以， 所以，所以，所以， 故选：C.    4．（2024·山东青岛·三模）在母线长为4，底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该几何体的表面包括原圆柱侧面，原圆柱一个底面及圆锥侧面，分别计算出各面面积即可得. 【详解】体积最大的圆锥的母线为， 则. 故选：C. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的轴截面为正三角形，且圆锥的体积为，若该圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为，则圆锥的母线，高，利用圆锥的体积可求得，利用圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上建立等量关系，求解即可得到结果. 【详解】 设圆锥的底面半径为，则圆锥的母线，高． ∵圆锥的体积为，∴，解得，则． 设球的半径为，球心到圆锥底面的距离为，则，即，解得， ∴球的表面积为． 故选：D． 6．（21-22高一下·湖北咸宁·期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形，如图所示，已知为坐标原点，，，在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】利用斜二测画法画出直观图四边形，再计算周长． 【详解】如图，画出直观图，过点作，垂足为 因为，， 所以，，，则， 故四边形的周长为． 故答案为： 7．（23-24高一下·湖南·期中）如图，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 . 【答案】 【分析】根据斜二测画法，，表示其面积，求出答案. 【详解】设的边上的高为，由斜二测画法原理可得， 所以，又，所以. 故答案为：. 8．（23-24高二下·江苏连云港·期末）用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆），其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆 kg.（精确到） 【答案】/ 【分析】求出正四棱锥的侧面积，因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆，算出即可. 【详解】 如图，正四棱锥表示冷水塔塔顶，表示底面中心，是高，是斜高， 则，底面的边长是，在中，由勾股定理得，， 所以， 因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆， 由精确到，实际问题向上取整，可得共需用油漆. 故答案为：. 9．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 .    【答案】 【分析】由图形可知所求几何体是由底面直径相同，高为的圆柱和高为的圆柱的一半拼成，由圆柱体积公式可求得结果. 【详解】作出几何体的轴截面如下图所示： 则所求几何体是由一个底面直径为，高为的圆柱与一个底面直径为，高为的圆柱的一半构成， 则所求几何体体积. 故答案为：.    10．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一底面半径为1，高为2的圆柱.光源点A沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点A沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 . 【答案】 【分析】先由题意得出射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积是以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的半个侧面积，共两个，再根据圆锥的侧面积公式即可计算求解. 【详解】由已知得射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积是以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的半个侧面积，共两个， 故所求的面积为以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的整个侧面积为. 故答案为：. 11．（22-23高一·全国·课后作业）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    【答案】图见解析， 【分析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算. 【详解】由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，， 所以 .    12．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析 (2)， 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【详解】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 13．（22-23高一·全国·课后作业）已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为.求它的侧面积和表面积． 【答案】侧面积是32，表面积是48 【分析】由正四棱锥的高，斜高，边心距组成的直角三角形，依据题意可以求出高与斜高，即可求得正四棱锥的侧面积和表面积． 【详解】如图所示，设正四棱锥的高为，斜高为， 底面边心距为，它们组成一个直角三角形； ， ， 所以正四棱锥的侧面积， 底面正方形面积为， 则正四棱锥的表面积为， 即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48. 14．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）中，已知，，，分别以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求其表面积． 【答案】答案见解析 【分析】分为三角形的一边，和所在直线为轴，形成一个或两个圆锥，由圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】因为，，，所以，即， ①以三角形的一边所在直线为轴，作于， 可以看作两个直角三角形绕各自的直角边旋转而成，所以形成的几何体是两个同底的圆锥， 则，此时这两个圆锥以为半径，母线长分别为， 所以其表面积为：， ②以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体， 所以形成的几何体是以为底面半径，母线长为的圆锥， 所以其表面积为：， ③以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体， 所以形成的几何体是以为底面半径，母线长为的圆锥， 所以其表面积为：. 15．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在直三棱柱中，. (1)若外接圆的半径是1，求直三棱柱的表面积； (2)若直三棱柱外接球的体积是，求此直三棱柱的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出，的长，从而求得直三棱柱的表面积； （2）设，由正弦定理求出底面三角形外接圆半径，设、分别为和的外接圆圆心，则直棱柱的性质可知的中点为三棱柱的外接球球心，利用勾股定理即可求出外接球半径，由球的体积公式即可求出答案. 【详解】（1）因为，所以，. 故直三棱柱的表面积为 . （2）设.因为，所以. 于是是外接圆的半径. 如图，设、分别为和的外接圆圆心，由直棱柱的性质可知的中点为三棱柱的外接球球心， 所以 则球的半径为.. 所以球的体积为，解得. 故直三棱柱的高是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 直观图与简单几何体的表面积、体积（2个知识点+12大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 斜二测画法辨析 题型二 斜二测法画平面图形的直观图 题型三 斜二测法画立体图形的直观图 题型四 由直观图还原几何图形 题型五 斜二测画法中有关量的计算 题型六 棱锥表面积的有关计算 题型七 棱台表面积的有关计算 题型八 柱体体积的有关计算 题型九 锥体体积的有关计算 题型十 圆柱表面积的有关计算 题型十一 圆锥表面积的有关计算 题型十二 球的表面积和体积 知识点一 空间几何体的直观图——斜二测画法 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相较于点O。画直观图时，把它们画成对应的x’轴和y’轴，两轴交于点O’，且使<x’o’y’=45度（或135度），它们确定的平面表示水平面。< span=""></x’o’y’=45度（或135度），它们确定的平面表示水平面。<> （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画呈平行于x’轴或y’轴的线段。 （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。 （4）z轴方向的长度不变 知识点二 几何体的表面积和体积 【核心考点一 斜二测画法辨析】 【例1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【例2】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图是水平放置的的直观图，是中边的中点，三条线段对应原图形中的线段，那么（    ） A．最短的是 B．最短的是 C．最短的是 D．无法确定谁最短 【例3】（2025高三·全国·专题练习）直观图 （1）画法：常用 ． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，轴、轴的夹角为 ，轴与和轴所在平面 ． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 ，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的 ． 【例4】（24-25高一下·全国·课前预习）用斜二测画法画水平放置的空间图形直观图的步骤 （2）画直观图时，把它们画成对应的轴，，，使 （或）， ，所确定的平面表示水平平面． （4）已知图形中平行于 的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 的线段，长度取原来的一半． 【例5】（22-23高一·全国·课后作业）如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？ 【核心考点二 斜二测法画平面图形的直观图】 【例1】（21-22高一下·天津·阶段练习）利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【例2】（23-24高一下·四川遂宁·期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图所示，用斜二测画法画出的水平放置的及边上中线的直观图是及，其中，试按此图判定原中的四条线段中最长的线段是 ；最短的线段是 . 【例4】（23-24高一下·全国·课前预习）画线 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成 【例5】（24-25高一下·全国·课堂例题）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【核心考点三 斜二测法画立体图形的直观图】 【例1】（21-22高一·全国·课后作业）一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm 【例2】．（2022高一·全国·专题练习）下列空间图形画法错误的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二·上海·课堂例题）利用“斜二测”法作长方体直观图时，需考虑 个方向上的尺度． 【例4】（22-23高一·全国·课前预习）（1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. （2）画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. （3）画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都 . （4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 【例5】（24-25高一下·全国·课后作业）泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）． 【核心考点四 由直观图还原几何图形】 【例1】（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示是由斜二测画法得到的水平放置的三角形的直观图，点是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则在原图中三条线段，，中（    ） A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是 C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）将如图所示的由斜二测画法得到的直观图还原成平面图形是（    ） A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四边形 D．平行四边形 【例3】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边的实际长度为 ． 【例4】（23-24高一下·宁夏石嘴山·期中）如图，的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为 . 【例5】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，求原来图形的面积.    【核心考点五 斜二测画法中有关量的计算】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中2，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 【例4】（2024高三·全国·专题练习）如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为 .    【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．    【核心考点六 棱锥表面积的有关计算】 【例1】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）棱长都是1的三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·北京·阶段练习）四面体的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体的表面积为，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）四面体的四个面的面积之和称为该四面体的全面积.过全面积为500的四面体的每个顶点，作一个平面与另外三个顶点所在平面平行，则由作出的这四个平面所围成的新的四面体的全面积是 . 【例4】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 【例5】．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 【核心考点七 棱台表面积的有关计算】 【例1】（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（    ） A．20 B．24 C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（    ） A．50 B．100 C．248 D．168 【例3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）“李白斗酒诗百篇，长安市上酒家眠”，本诗句中的“斗”的本义是指盛酒的器具，后又作为计量蜋食的工具，某数学兴趣小组利用相关材料制作了一个如图所示的正四棱台来模拟“斗”，用它研究“斗”的相关几何性质，已知该四棱台的上、下底的边长分别是2、4，高为1，则该四棱台的表面积为 . 【例4】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）若某正四棱台的上、下底面边长分别为3、9，侧棱长是6，则它的表面积为 . 【例5】（24-25高一上·全国·课后作业）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高是．求这个正三棱台的侧面积． 【核心考点八 柱体体积的有关计算】 【例1】（24-25高二上·上海·期中）设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．、的大小不确定 【例2】（2024高二下·福建·学业考试）圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）如图所示，一个输液瓶的圆柱部分装有药品，输液瓶直径为6cm，一位患者通过输液管进行输液，输液管内径约0.3cm，已知输液管内液体的流量速率（单位：）与管道半径（单位：cm）存在如下函数关系：，2h后输液完毕，则液面高度约为 cm．（结果保留整数，参考数据：） 【例4】（2024·广东·模拟预测）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的体积为 【例5】（24-25高一上·河南南阳·期中）平均值不等式（，，…，，当且仅当时等号成立）是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究中占有重要的位置，在不等式证明、数列收敛性证明、函数性质分析、数学建模和优化问题等方面，平均值不等式常常能够发挥关键作用.当时，可得基本不等式（a，，当且仅当时，等号成立）.当时，可得，（a，b，，当且仅当时，等号成立），而利用该不等式我们可解决某些函数的最值问题，例如：（）求函数）的最小值我们可以这样处理：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. (1)请利用当时的结论解决下面问题：已知，，，求证：； (2)请利用当时的结论解决下面问题： ①已知，求的最小值； ②已知矩形ABCD的周长为6，设（），将其绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的体积为V，求V的最大值. 【核心考点九 锥体体积的有关计算】 【例1】（24-25高二上·上海·期中）已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D．3 【例2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高三上·福建厦门·期中）已知正四面体ABCD的棱长为，其外接球的球心为O.点E满足，，过点E作平面平行于AC和BD，当时，平面截球O所得截面的周长为 ；当时，将正四面体ABCD绕EF旋转90°后与原四面体的公共部分体积为 . 【例4】（2024高三·全国·专题练习）已知在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且，现沿平面将该三棱柱截成两部分，则几何体的体积为 ． 【例5】（24-25高二上·上海·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【核心考点十 圆柱表面积的有关计算】 【例1】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·上海·课堂例题）已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高三上·上海黄浦·期末）若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为 ． 【例4】（24-25高二上·上海·期中）底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为 .（结果保留） 【例5】（23-24高二·上海·课堂例题）要给一批共10000根相同规格的空心钢管镀锌，钢管的长度为1m，内外直径分别为8cm与10cm．若电镀这批钢管每平方米要用锌0.11kg，求需要用锌的总量．（结果精确到0.01kg） 【核心考点十一 圆锥表面积的有关计算】 【例1】（24-25高三上·天津·期中）已知底面半径为的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高三上·宁夏·期中）若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知一个圆锥的高为，且侧面展开图恰是一个半圆，则该圆锥的侧面积为 ． 【例4】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为 . 【例5】（2024高三·全国·专题练习）中，已知，，，分别以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求其表面积. 【核心考点十二 球的表面积和体积】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的底面半径与球的半径相等，且圆锥的侧面积与球的表面积相等，则该圆锥的体积与该球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高二上·上海·阶段练习）表面积为 的球的体积是 . 【例4】（2024高二上·云南·学业考试）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作球体教具，他们制作的球体，半径为，这种球体的表面积是 . 【例5】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.    (1)求“浮球”的体积： (2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 【变式训练1 斜二测画法辨析】 1．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 2．（22-23高一·全国·课后作业）利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（　　） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 3．（24-25高二·上海·随堂练习）根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，则∠x'O'y'的度数为 ，∠x'O'z'的度数为 ． 4．（24-25高二上·上海·课前预习）平面直观图与斜二测画法 为了把空间图形画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分位置关系和度量关系，我们通常采用 画空间图形的 ． 5．（24-25高二上·上海·课前预习）斜二测画法画空间几何体直观图的基本步骤是什么？ 【变式训练2 斜二测法画平面图形的直观图】 1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）用斜二测画法，可得矩形的直观图一定为（    ） A．矩形 B．梯形 C．菱形 D．平行四边形 2．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的作法可能正确的为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·全国·专题练习）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的 .（填序号） 4．（23-24高二上·辽宁·开学考试）已知矩形，采用斜二测画法做出其直观图，若其直观图的面积为，则矩形的周长可以为 ． 5．（23-24高二·上海·课堂例题）在水平放置的平面上有一个边长为3cm的正三角形，请画出其直观图． 【变式训练3 斜二测法画立体图形的直观图】 1．（22-23高一上·河北衡水·周测）下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022高三·北京·专题练习）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是 A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆昌吉·开学考试）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中，则三角形的面积为 ．    4．（21-22高一·全国·课后作业）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 画轴 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使 （或 ），它们确定的平面表示 画线 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 取长度 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的 用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画轴，轴过点，且与轴的夹角为，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 几何体直观图的画法规则 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z之轴，并且使平行于z轴的线段的 和 都不变． 5．（24-25高二·上海·课堂例题）用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图． 【变式训练4 由直观图还原几何图形】 1．（21-22高一下·浙江台州·期中）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，那么（ ） A．的长度大于的长度 B．的面积为2 C．的面积为4 D． 2．（2024高一下·江苏·专题练习）如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（    ） A． B．8 C．6 D． 3．（23-24高二上·上海金山·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为 ．    4．（23-24高二上·上海虹口·期中）如图所示，是的直观图，则的面积 （请用数字填写）． 5．（22-23高一下·全国·课后作业）如图所示，为按斜二测画法所得直观图，绘出原图形． 【变式训练5 斜二测画法中有关量的计算】 1．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江·期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 4．（24-25高二上·上海·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 5．（2024高一下·全国·专题练习）（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． （2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． （3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？ （4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【变式训练6 棱锥表面积的有关计算】 1．（24-25高二·上海·课堂例题）侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则此棱锥的表面积是（    ） A．； B．； C．； D．都不对． 2．（23-24高一下·福建三明·期末）福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为4，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为 ． 4．（24-25高二上·上海·课前预习）正棱锥的表面积 正棱锥的每个侧面都是 ，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为．如果棱锥底面多边形的周长是c，底面面积是，那么棱锥的侧面积 ，表面积 ． 5．（22-23高一·全国·随堂练习）仓库的房顶呈正四棱锥形，量得底面的边长为2.6m，侧棱长2.1m，现要在房顶上铺一层油毡纸，那么所需油毡纸的面积是多少？ 【变式训练7 棱台表面积的有关计算】 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（    ） A．10 B． C．40 D．44 2．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）石墩随处可见，形状各异，美化了我们的环境，已知某正四棱台石墩的上、下底面边长分别为40cm，58cm，侧棱长为41cm，则该石墩的侧面积为（    ） A．8036cm2 B．13000cm2 C．7840cm² D．12804cm² 3．（23-24高三上·山东·阶段练习）如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为 ．      4．（22-23高三下·山东菏泽·开学考试）在正四棱台中，，，，则该棱台的表面积为 ． 5．（2024高一下·全国·专题练习）已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 【变式训练8 柱体体积的有关计算】 1．（2021高二上·新疆·学业考试）在长方体中，长，宽，高，则它的体积是（    ） A．60 B．50 C．40 D．30 2．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海静安·期中）圆柱的轴截面为边长为的正方形，则圆柱的体积为 . 4．（24-25高二上·上海·期中）正四棱柱的底面边长为2，高为3，则它的体积为 5．（24-25高一下·全国·课前预习）同一摞书，当改变摆放书的形式时（如图），该摞书的总体积是否会改变？ 【变式训练9 锥体体积的有关计算】 1．（24-25高二上·北京·期中）正四棱锥的底面边长为2，高为2，该四棱锥的体积是（    ） A． B． C．8 D．12 2．（24-25高二上·广东广州·期中）正三棱柱各棱长均为，为的中点，那么四面体 的体积（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风铃可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中厘米，厘米，厘米，若不考虑铃舌，则风铃的体积为 立方厘米．（保留两位小数） 4．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）已知某圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的体积为 . 5．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【变式训练10 圆柱表面积的有关计算】 1．（24-25高二上·安徽滁州·开学考试）以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西大同·期中）已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东威海·一模）已知底面半径为3的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为 . 4．（24-25高二上·上海·期中）若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 5．（24-25高一上·全国·课后作业）一个圆柱形的锅炉，底面直径，高．求锅炉的表面积（精确到）． 【变式训练11 圆锥表面积的有关计算】 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知底面半径为2的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱侧面积与圆锥侧面积的比值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为6m，高为4m，则该屋顶的面积约为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海松江·期末）已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为，则该圆锥的高为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 5．（2023高二上·上海·专题练习）如图所示，圆锥的顶点为，底面中心为，母线，底面半径与的夹角为，且.求该圆锥的表面积. 【变式训练12 球的表面积和体积】 1．（24-25高三上·河北保定·期中）若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．（22-23高二下·河北石家庄·期末）已知球的表面积为，则该球的体积是（    ）cm³ A．64π B．144π C．288π D．216π 3．（24-25高三上·上海·期中）在中， ， P为内部一动点(含边界)，在空间中，若到点的距离不超过的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 . 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知球的体积是，则这个球的表面积是 . 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点在球的表面上，且，，．若球心与中点的连线长为4，求球的表面积． 1．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，为水平放置的的直观图，的面积为，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·开学考试）如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·天津·阶段练习）如图，三棱柱中，是上靠近的三等分点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（   ）    A． B． C． D． 4．（2024·山东青岛·三模）在母线长为4，底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为（     ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的轴截面为正三角形，且圆锥的体积为，若该圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一下·湖北咸宁·期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形，如图所示，已知为坐标原点，，，在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为 ． 7．（23-24高一下·湖南·期中）如图，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 . 8．（23-24高二下·江苏连云港·期末）用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆），其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆 kg.（精确到） 9．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 .    10．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一底面半径为1，高为2的圆柱.光源点A沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点A沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 . 11．（22-23高一·全国·课后作业）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    12．（22-23高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 13．（22-23高一·全国·课后作业）已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为.求它的侧面积和表面积． 14．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）中，已知，，，分别以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求其表面积． 15．（23-24高一下·安徽合肥·期中）在直三棱柱中，. (1)若外接圆的半径是1，求直三棱柱的表面积； (2)若直三棱柱外接球的体积是，求此直三棱柱的高. 学科网（北京）股份有限公司 $$