专题09 二次函数的图象与性质-2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版）

2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版） 专题09 二次函数的图象与性质 【典型例题】 1．（2021·辽宁·沈阳市第一三四中学九年级阶段练习）如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）． （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离． 【答案】（1）二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）；（3）点P与点Q关于对称轴x＝2对称，m＝6，所以点Q到x轴的距离为6 【分析】 （1）将点A、B的坐标代入二次函数解析式进行求解即可； （2）把二次函数解析式化为顶点式即可求解； （3）将点P的坐标代入（1）中函数解析式求得m的值，然后根据二次函数的对称性可进行求解 【详解】 解：（1）将A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）代入y＝ax2﹣4x+c， 得，解得， 所以二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣6； （2）由y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10可知： 对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）； （3）将P（m，m）坐标代入y＝x2﹣4x﹣6，得m＝m2﹣4m﹣6． 解得， 因为m＞0，所以m＝﹣1不合题意，舍去．所以m＝6， 所以P点坐标为（6，6）； 因为点P与点Q关于对称轴x＝2对称，所以点Q到x轴的距离为6． 【点睛】 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【专题训练】 1、 选择题 1．（2021·江西·九年级阶段练习）关于二次函数y=（x+1）2-2的图象，下列说法正确的是（　　） A．它可由y=x2-2向右平移一个单位得到 B．开口向下 C．顶点坐标是（1，-2） D．与x轴有两个交点 【答案】D 【分析】 由二次函数y=（x+1）2-2，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向上；平移的性质；对每个选项分析、判断即可． 【详解】 解：∵抛物线y=（x+1）2-2可以由二次函数y=x2-2的图象向左平移1个单位得到，故A选项不符合题意； ∵a＞0，所以开口向上，故B选项不符合题意； ∵顶点坐标为（-1，-2），故C选项不符合题意； 根据顶点坐标以及开口向上可判定与x轴有两个交点，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点． 2．（2021·河南·南阳市第三中学九年级阶段练习）二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A．向下，直线， B．向下，直线， C．向上，直线， D．向下，直线， 【答案】D 【分析】 由二次函数解析式化为顶点式确定其开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为（-3，2）， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为直线． 3．（2021·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学九年级阶段练习）对于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．时，函数有最小值 D．时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】 将二次函数化为顶点式，然后对选项逐个判断即可． 【详解】 解： ，开口向上，A选项错误， 对称轴为，B选项错误， 当时，函数有最小值，最小值为，C选项错误 当时，随的增大而减小，∴时，随的增大而减小 D选项正确， 故选D． 【点睛】 此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质． 4．（2021·浙江·仙居县下各镇第一中学九年级期中）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为3，那么m的值是（　　） A．2或﹣4 B．﹣2或4 C．﹣或2 D．或﹣2 【答案】B 【分析】 分≤﹣2，≥1，﹣2＜＜1三种情况，根据y的最大值为3，结合二次函数的性质求解即可； 【详解】 解：∵y＝﹣x2+mx， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣， ①当≤﹣2，即m≤﹣4时，当x＝﹣2时，函数最大值为3， ∴﹣4﹣2m＝3， 解得：m＝﹣3.5（舍去）； ②当≥1，即m≥2时，当x＝1时，函数最大值为3， ∴﹣1+m＝3， 解得：m＝4． ③当﹣2＜＜1，即﹣4＜m＜2时，当x＝时，函数最大值为3， ∴， 解得m＝2（舍去）或m＝﹣2， 综上所述，m＝4或m＝﹣2， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的最值，能根据二次函数的顶点式确定最值是解题的关键．