河南省郑州市第一〇六高级中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学（理）试卷

2021-2022学年上期中考 22届 高三数学(理)试题 说明:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)满分150分,考试时间120分钟. 2. 将第Ⅰ卷的答案代表字母填(涂)在第Ⅱ卷答题表 (答题卡)中. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题: 本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 ,则的虚部为( ) A. B. C. D. 2.已知集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 3.若 ,则下列正确的是( ) A. B. C. D. 4.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=58,a2+a5+a8=44,则a3+a6+a9的值为( ) A.30 B.27 C.24 D.21 5.命题“ ”的否定是( ) A. B. C. D. 6.右图是一算法的程序框图,若输出结果为 ,则在判断框中应填入的条件是( ) A. B. C. D. 7.已知函数f(x)=若f(4-a)>f(a),则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-2,+∞) 8.我国古代为了进行复杂的计算,曾经使用“算筹”表示数,后渐渐发展为算盘.算筹有纵式和横式两种排列方式,0~9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 〇 横式 排列数字时,个位采用纵式,十位采用横式,百位采用纵式,千位采用横式……纵式和横式依次交替出现.如“”表示21,“〇”表示609.在“〇”、“”、“”、“”、“”中选三个按照一定顺序排列成的三位数中任取一个,取到偶数的概率是( ) A. B. C. D. 9.已知 的一段图象如图所示,则( ) A. B. 的图象的一个对称中心为 C. 的单调递增区间是 D.函数 的图象向左平移 个单位后得到的是一个奇函数的图象 10.已知点P是双曲线 (a(0,b(0)右支上一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,M是△PF1F2的内心,若 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 成立,则双曲线的离心率为( ) A.3 B.2 C. D. 11.函数 满足 , 在 上存在导函数 ,且在 上 ,若 ,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 12.如图,在棱长为1的正方体 中,点P为线段 上的动点(点P与 , 不重合),则下列说法不正确的是( ) A. B.三棱锥 的体积为定值 C.过P, , 三点作正方体的截面,截面图形为三角形或梯形 D.过 四点的球的半径为定值 第Ⅱ卷 (非选择题,共90分) 二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分. 13.若 ,则与 同方向的单位向量是_. 14.已知样本数据为 , , , , ,该样本平均数为5,方差为2,现加入一个数5,得到新样本的方差为_. 15.已知抛物线 : 的焦点 和准线 ,过点 的直线交 于点 ,与抛物线的一个交点为 ,且 ,则 _. 16.已知等差数列 ,对任意 都有 成立,则数列 的前 项和 _. 三、解答题:本大题共6小题. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12分)在 中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 . (1)求角B; (2)若 , ,点D在边AC上,且 ,求BD的长. 18.(12分)三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=BC=AA1=3,AC=2, ,面A1BC1⊥面BB1C1C. (1)证明:A1B⊥B1C; (2)求直线B1C与平面ABC所成角的正弦值. 19.(12分)已知有五个大小相同的小球,其中3个红色,2个黑色.现在对五个小球随机编为1,2,3,4,5号,红色小球的编号之和为A,黑色小球的编号之和为B,记随机变量 . (1)求 时的概率; (2)求随机变量X的概率分布列及数学期望. 20.(12分)椭圆长轴左右端点分别为 ,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且 , . (1)求椭圆的标准方程; (2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于 两点,问:是否存在直线l,使点F恰为 的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 21.(12分)已知函数 . (1)若 和直线 相切,求 的值; (2)令 , ,当 时,判断 零点的个数并证明. 请考生在第22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (10分)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆 和圆 的极坐标方程分别是 和 . (1)求圆 和圆 的公共弦所在直线的直角坐标方程; (2)若射线 : 与圆 的交点为O,P,与圆 的交点为O,Q,求 的值. 23.