第06练 幂函数、指数函数和对数函数-2022年【寒假分层作业】高一数学（苏教版2019必修第一册）

第06练 幂函数、指数函数和对数函数 1.幂函数的性质及其应用 幂函数的性质与参数 可以互相确定： (1)幂函数 中只有一个参数 ，幂函数的所有性质都与 的取值有关，故可由 确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性. (2)反过来，也可由幂函数的性质去限制 的取值： ①利用幂函数的单调性求出 的取值范围； ②由奇偶性结合所给条件确定 的值。 2.幕值的大小比较 (1)直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较. (2)转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小 (3)中间值法：当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与两数分别比较，从而达到比较大小的目的. 3.指数函数图象与性质的应用 解关于指数函数 的问题，应注意：(1)函数的单调性只与底数a有关，(2)图象过定点(0，1). 4.指数函数的单调性及其应用 (1)对于求形如 的函数的单调性，往往通过换元设 ，然后结合二次函数与指数函数的单调性进行判断； (2)对于求形如 a>0，且a≠1)的函数单调性，往往通过换元设 ，然后结合函数 与指数函数 >0，且a≠1)的单调性进行判断。 5.与对数函数有关的定义域问题 (1)对数函数 的定义域为 。 (2)形如 的函数，定义域由 来确定. (3)形如 的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义.如函数 的定义域为{x|x>0且x=2}. 6.对数函数的单调性及其应用 解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是要注意其定义域. 7.对数值的大小比较 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则： (1)如果两对数的底数相同，则利用对数函数的单调性(底数a>1为增，0<a<1为减)进行比较. (2)如果两对数的底数不同而真数相同，常利用对数函数图象间的关系进行比较. (3)如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较。 一、单选题 1．已知函数 ，且 ，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知 （ ，且 ），且 ，则a的取值范围是（ ） A．（0，＋∞） B．（1，＋∞） C．（－∞，1） D．（0，1） 3．函数 与 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） A． B． C． D． 4．函数 且 的图象恒过定点（ ） A．(－2，0) B．(－1，0) C．(0，－1) D．(－1，－2) 5．若幂函数 在同一坐标系中的部分图象如图所示，则 ､ 的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数 ，且对于任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若幂函数 在（0， ）上单调递减，则 ___________. 8．已知 ，则使 成立的 的取值范围是___________. 9．已知函数 和 的图象关于 轴对称，当函数 和 在区间上 ， 同时单调递增或者同时单调递减时，把区间 ， 叫做函数 的“不动区间”，若区间 ， 为函数 的“不动区间”，则实数 的取值范围是________． 10．对于问题：当x>0时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，求实数a的所有可能值．几位同学提供了自己的想法． 甲：解含参不等式，其解集包含正实数集； 乙：研究函数y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)； 丙：分别研究两个函数y1＝(a－1)x－1与y2＝x2－ax－1； 丁：尝试能否参变量分离研究最值问题． 你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________． 11．已知函数 是定义域为R的奇函数.当 时， . （1）求 的解析式； （2） ， 恒成立，求实数a的取值范围. 12．已知函数f(x)＝ － (a为常数)． （1）证明：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数； （2）若f(x)为奇函数，求a的值． 13．已知函数 为奇函数. （1）求常数 的值； （2）判断并证明函数 在 上的单调性 （3）求函数 在 上的值域. 14．已知 ，函数 是定义在R上的偶函数， . （1）求a，判断函数 的单调性并用定义证明; （2）若对任意的 ，总是存在 使得不等式 成立，求b的范围. 15．对于在区间 上有意义的函数f(x)，若满足对任意的 ，有 恒成立，则称f(x)在 上是“友好”的，否则就称f（x）在 上是“不友好”的.现有函数 （1）当a=1时，判断函数f(x)在 上是否“友好”； （2）若函数f(x)在区间 (1≤m≤2)上是“友好”的，求实数a的取值范围 （3）若关于x的方程 的解集中有且只有一个元素，