专题07 压轴题中利用相似三角形探究角的数量关系-2022年中考数学相似三角形梯级提分精练（全国通用）

专题07 压轴题中利用相似三角形探究角的数量关系 【考情说明】 在历年的中考压轴题中，常利用相似三角形的性质，证明角相等或角的数量关系，解题中常需要做辅助线，构造相似三角形的常见模型，通过证明三角形相似，得到有关线段的比例式或角的等量关系，从而得到所需条件或结论。 【例题透析】 例1.（2021·山东高新技术产业开发区·九年级期中）（模型呈现：材料阅读） 如图，点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE的同侧，△ABC和△CDE均为等边三角形，AE，BD交于点F． 对于上述问题，存在结论（不用证明）： （1）△BCD≌△ACE． （2）△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成； … （模型改编：问题解决） 点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，ED＝EC，∠BAC＝∠DEC＝50°，直线AE，BD交于F． 如图1：点B在直线CE上． ①求证：△BCD∽△ACE； ②求∠AFB的度数． 如图2：将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度． ③补全图形，则∠AFB的度数为　　； ④若将“∠BAC＝∠DEC＝50°”改为“∠BAC＝∠DEC＝m°”，则∠AFB的度数为 　　．（直接写结论） （模型拓广：问题延伸） 如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝ ，DG＝3，连接AG，BF，求 的值． 例2.（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级开学考试）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ， ． （1）如图1，求直线 的解析式； （2）如图2，点 在 上，点 在 轴正半轴上，连接 、 ，且 ，设点 的纵坐标为 ，点 的横坐标为 ，求 与 的函数关系式（直接写出 的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点 在 上，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，交 轴于点 ，连接 交 轴于点 ，若 ， ，求点 的坐标． 【挑战压轴】 1．如图1，点 为 的平分线上一点，以 为顶点的角的两边分别与射线 ， 交于 ， 两点，如果 绕点 旋转时始终满足 ，我们就把 叫做 的智慧角． （1）如图1，已知 ，若 是 的智慧角，写出 的度数（用含 的式子表示）； （2）如图2，已知 ，点 为 的平分线上一点，以点 为顶点的角的两边分别与射线 ， 交于 ， 两点，且 ．求证： 是 的智慧角； （3）如图3， 是函数 图象上的一个动点，过点 的直线 分别交 轴和 轴于点 ， 两点，且满足 ，请求出 的智慧角 的顶点 的坐标． 2．（2021·上海徐汇·九年级期中）如图，已知Rt△ABC和Rt ， ， ， ， ，点 在边 上，射线 交射线 于点 ． （1）如图，当点 在边 上时，联结 ． ①求证： ； ②若 ，求 的长； （2）设直线 与直线 交于点 ，若△PCE为等腰三角形，求 的长． 3．（2021·广东高州·九年级期中）如图，在△ABC中， 是 边上的高，E是 边上的一个动点（不与B，C重合）， ，垂足分别为F，G． （1）求证： ； （2） 与 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当 时， 为等腰直角三角形吗？并说明理由． 4．（2021·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点D在抛物线上，且点D的坐标为 ， ． （1）求抛物线的解析式； （2）P为第一象限抛物线上一点，连接PC、PD，设点P的横坐标为t，△PCD的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，作 轴于点E，点F在线段OC上， ，线段BF和CE交于点G，当 ，求点P的坐标，并求此时△PCD的面积． 5．在△ABE和△CDE中，∠ABE＝∠DCE＝90°，AB＝BE，CD＝CE． （1）连接AD、BC，点M、N分别为AD、BC的中点，连接MN， ①如图1，当B、E、C三点在一条直线上时，MN与BC关系是 ． ②如图2，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由． （2）如图3，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，连接AC、BD，点P、Q分别为BD、AC的中点，连接PQ，若AB＝13，CD＝5，则PQ的最大值时，此时以A、B、C、D为顶点的四边形的面积为 ． 6．（2021·湖北·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）（1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE＋FD＝EF； （2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的