专题06 利用相似三角形的性质证明线段成比例或相等-2022年中考数学相似三角形梯级提分精练（全国通用）

专题06 利用相似三角形的性质证明线段成比例或相等 【考情说明】 关于利用相似三角形的性质证明线段成比例或数量关系的考查，中考中常与四边形、圆或在压轴题中出现，提醒考生，在考试中出现求证比例式、等积式、或线段的倍数关系等数量关系的题目时，一般采用相似三角形的性质进行证明。 【例题透析】 例1.如图，在口ABCD中，点E、F分别是边AD和对角线AC上的点，连接EF，且∠AEF =∠CAB （1）求证：ΔAEF∽ΔACD； （2）若AF=2CF，AE=4、DE=5，求AC的长． 例2.如图1，已知四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BA，AD的延长线上， ，BF交CD于点O，ED的延长线交BF于点G，连接CG． （1）求证： ； （2）求 的度数； （3）如图2，连接AG，求证： ． 例3.（2021·福建尤溪·九年级期中）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD＝8，AB＝12，求 的值． 【巩固训练】 一、单选题 1．（2021·四川西区·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是BC的三等分点，则EP：PQ：DQ=（ ）． A．1：1：2 B．3：2：5 C．5：3：12 D．4：3：9 2．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E，F分别在AC，BC上，AE＝CF＝1，则BP•BE的值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 3．如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D在边AB上，且AD=1，点E是边B上的一动点，作射线ED．射线ED绕点E顺时针旋转60°得到射线EF，交AC于点F，则点E从B→C的运动过程中，CF的最大值是（ ） A． B．1 C． D． 4．（2021·安徽·六安市轻工中学九年级期中）如图， 中， ， ，EF交AC于G，则 的值（ ） A． B． C． D． 5．如图，点A、D在以BC为直径的⊙O上，且D是的中点，AC与BD交于点E．若AE=3， ，则CE的长为（ ） A．10 B． C． D．5 6．（2021·福建·泉州七中九年级期中）如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE＝45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G，H，∠CBE＝∠BAD．有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC•AD＝ AE2；④AD•AG＝ AC2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2021·广西港南·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH•PC．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点Р作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确个数是（ ） ①AM平分 ；② ；③若 ， ，则BM的长为 ；④若 ， ，则有 ． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为腰向外作等腰直角三角形，其中∠ABD＝∠ACE＝∠FBC＝90°，AE交边FC于点G．若AE＝ AD，BC＝6，则AB的长为 ___，AG的长为 ___． 10．（2021·江苏靖江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，AD＝5，BC＝8，E是直线BC上一动点，把△BDE沿直线ED翻折后，点B落在点F处，当FD⊥BC时，线段BE的长为___． 11．在矩形 中， ， ， 为 边的中点．如图，若 、 为边 上的两个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，则求 的长为________． 12．如图，在四边形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，且AB＝AE，∠CBA＝∠D+ ∠BAD，过点E作EG⊥AB，垂足为G．延长BC和AE交于点F，若BF：ED＝2：1，EG＝2，三角形ABF的面积为7，则AD＝_____． 13．如图，在平行四边形 中， ，点E为边 上的一个动点，连接 并延长至点F，使得 ，以 为邻边构造平行四边形 ，连接 ﹐则 的最小值为__________． 14．（2021·四川省成都市第八中学校九年级期中）如图，点F在平行四边形ABCD的边AD上，延长BF交CD的延长线于点E，交AC于点O，若 ，则 __________． 15．（2021·安徽·合肥38中九年级阶段练习）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，C