1.2.2　圆的一般方程（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

2.2　圆的一般方程 数学 核心知识目标 核心素养目标 掌握圆的一般方程. 通过根据圆的几何要素得出圆的一般方程的过程,提高数学抽象、数学运算等核心素养. 数学 知识探究·素养培育 探究点一 圆的一般方程 [问题1] 把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开,可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,该方程的形式为x2+y2+Dx+Ey+F=0,反过来,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是某个圆的方程? 数学 数学 知识点1:圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中 >0)为圆的一般方程. [思考1] 若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0为圆的方程,则圆心坐标和圆的半径分别为什么? D2+E2-4F 数学 [例1-1] (2020·山东枣庄高二期中)已知圆x2+y2-4y-1=0,则该圆的圆心坐标和半径分别为(　　) (A)(0,2),5 (B)(0,-2),5 数学 [例1-2] 经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S等于(　　) (A)π (B)2π (C)3π (D)4π 数学 方法总结 (1)根据圆的一般方程求圆心坐标和半径时,只要通过配方把圆的一般方程化为标准方程,根据标准方程得出圆心坐标和半径即可. (2)不共线的三点确定一个圆,求该圆方程时用一般式较为方便,即把三点坐标代入圆的一般方程,得到三个关于D,E,F的一次方程组成的方程 组,解方程组求得D,E,F就得到了圆的方程. 数学 数学 变式训练1-2:(2020·天津第四十二中学高二月考)圆心在直线y=x上,且经过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是　　　　　　　.  答案:x2+y2-4x-4y-2=0 数学 变式训练1-3:若不同的四点A(5,0),B(-1,0),C(-3,3),D(a,3)共圆,则a的值为　　　　　.  答案:7 数学 探究点二　 一般的二元二次方程表示圆的充要条件 [问题2] 一般的二元二次方程为Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0,该方程满足什么条件时表示圆的方程? 数学 知识点2:方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 A=B≠0 方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 ,C 0,D2+E2-4AF>0. [思考2] A=B≠0,C=0是方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F=0表示圆的什么条件? 提示:必要不充分条件. = 数学 [例2-1] (2020·河北新乐第一中学高二月考)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆,则实数m的取值范围为(　　) 数学 (A)-2 (B)2 (C)-2或2 (D)-2或0 数学 数学 方法总结 (1)根据一般的二元二次方程表示圆的充要条件可求得方程中的系数满足的不等式,只有满足该不等式的参数值可以使得方程表示圆. (2)圆上的点到一条直线的距离的最大值为圆心到该直线的距离加上圆的半径. 数学 变式训练2-1:(2020·南昌民德学校高二期中)已知方程x2+y2+2mx-2my-2=0表示的曲线恒过第三象限内的一个定点A,若点A又在直线l:mx+ny+1=0上,则2m+2n等于(　　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 数学 变式训练2-2:(2020·上海实验学校高二期中)方程x2+Axy+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是　　　　　　　. 答案:A=0且D2+E2-4F>0 数学 备用例题 [例1] (2020·福建南安侨光中学高二月考)已知三角形的三个顶点为O(0,0),M(6,0),N(8,4),过点(3,5)作其外接圆的弦,若最长弦与最短弦分别为AC,BD,则四边形ABCD的面积为　　　　　　　.  数学 数学 [例2] 已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为 　　　　　　　.  数学 [例3] (2020·天津高三专题练习)已知圆O过点A(0,0),B(0,4),C(1,1),点D(3,4)到圆O上的点的最小距离为　　　　　　　.  数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 提示:将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方,得(x+)2+(y+)2=, 由此可知,只有当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(-,-)为圆心, 为半径的圆, 当D2+E2-4F=0时表示一个点(-,-), 当D2+E2-4F<0时,没有实数对(x,y)适合方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,故其不表示任何 图形. 提示:圆心坐标为(-,-),半径r=. 解析:x