1.2.3　直线与圆的位置关系（课件）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

2.3　直线与圆的位置关系 数学 核心知识目标 核心素养目标 能根据直线方程、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 通过利用方程思想探索直线与圆的位置关系的过程提高数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 数学 知识探究·素养培育 探究点一 直线与圆的位置关系 [问题1] 由平面几何知,直线l与圆C有相交、相切、相离三种位置关系,如果把直线l与圆C放在平面直角坐标系中,你能根据直线l与圆C的方程,使用解析几何的方法(代数方法)刻画上述三种位置关系吗? 提示:思路1　根据平面几何知识,当圆心C到直线l的距离小于圆的半径r时,直线l与圆C相交;当圆心C到直线l的距离等于圆的半径r时,直线l与圆C相 切;当圆心C到直线l的距离大于圆的半径r时,直线l与圆C相离.反之上述结论也成立.即直线l与圆C相交⇔d<r;直线l与圆C相切⇔d=r;直线l与圆C相 离⇔d>r. 数学 思路2　在平面直角坐标系中,把直线l的方程与圆C的方程组成方程组,如果该方程组有两组不同的实数解,说明直线l与圆C有两个不同的公共点,此时直线l与圆C相交,反之,如果直线l与圆C相交,则交点的坐标同时满足直线l的方程和圆C的方程,由此可知,直线l与圆C相交的充要条件是直线l与圆C的方程组成的方程组有两组不同的实数解.同理,直线l与圆C相切的充要条件是直线l与圆C的方程组成的方程组只有一组实数解;直线l与圆C相离的充要条件是直线l与圆C的方程组成的方程组无实数解. 数学 知识点1:直线与圆的位置关系 已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心C(a,b) 到直线l的距离d= (A,B不全为0), 数学 [思考1] 上述解决直线与圆的位置关系问题可以认为是“距离法”和“方程组法”,你能概括它们的优劣吗? 提示:使用“距离法”在计算中要简单一些,但如果是要具体求出直线与圆的交点坐标,则只能使用“方程组法”,两种方法各自具有其使用的具体环境,要根据实际情况选取. 数学 [例1-1] (2020·河南周口高三月考)已知直线l:3x-4y+m=0与圆C:x2+y2-6x+4y-3=0有公共点,则实数m的取值范围为(　　) (A)(3,37) (B)[-37,3] (C)[3,4] (D)[-4,4] 数学 (1)记点E的轨迹为曲线C,求曲线C的方程; 数学 数学 方法总结 当需要用到直线与圆的交点坐标或者交点坐标之间的关系时,需要把直线方程与圆的方程联立消掉一个变量,得出一个一元二次方程,解方程或者根据根与系数的关系确定点的坐标或坐标间的关系. 数学 变式训练1-1:(2020·辽宁抚顺期中)直线ax-y+2a=0与圆x2+y2=11的位置关系是(　　) (A)相离 (B)相交 (C)相切 (D)不确定 解析:易知直线ax-y+2a=0过定点P(-2,0),又(-2)2+02=4<11,所以点P在圆内,所以直线与圆相交.故选B. 数学 变式训练1-2:(2020·湖北十堰期中)已知斜率为k且过点M(0,1)的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交于不同两点A,B. (1)求实数k的取值范围; 数学 数学 数学 探究点二　 圆的切线方程的求法 [问题2] 我们知道确定直线需要两个独立的条件(直线的方向和一点、两点坐标等), 当已知直线l与圆C相切时,根据直线与圆相切的充要条件可得一个条件,只需再知道确定直线的一个条件(方向或点)即可得到确定直线的两个条件,求出直线方程.你能据此谈谈:(1)过已知点与已知圆相切;(2)已知方向(斜率、倾斜角、方向向量、法向量等)与已知圆相切的直线方程的求解方法吗? 提示:(1)分直线的斜率不存在和存在.直线斜率不存在时,根据直线过已知点可得直线方程,验证圆心到该直线的距离是否等于圆的半径,若等于,该方程即为所求的直线方程,若不等于,则方程不是所求的直线方程;若直线斜率存在,设其斜率为k,使用点斜式得出直线方程,再利用圆心到该直线的距离等于圆的半径确定k值,即得所求的直线 方程. (2)使用一个参数表达直线方程,再利用圆心到该直线的距离等于圆的半径确定参数 值,即得所求的直线方程. 数学 知识点2:圆的切线方程求法 使用参数表达切线方程,据圆心到直线的距离等于圆的半径确定参数值即可得出圆的切线方程. [思考2] 如果直线过圆上的点且与该圆相切,则该直线方程如何求解? 提示:圆心与直线过圆上的点的连线垂直于直线,利用两直线垂直关系,得出所求的直线方程. 数学 [例2-1] 一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相 切,则反射光线所在直线的斜率为(　　) 数学 数学 [例2-2] 已知点P(x0,y0)在圆O:x2+y2=r2上,