2.3 双曲线（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

2.3.2　双曲线的简单几何性质 选题明细表 知识点、方法 题号 双曲线的几何性质 1,2,3,5,6,7,9,10 利用几何性质求双曲线方程 4,8 直线与双曲线的位置关系 11,12,13 1.已知双曲线C:-=1(b>0)的焦距为10,则双曲线C的渐近线方程为(　D　) (A)y=±x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±x 解析:双曲线C的焦距为2=10,所以b2=9, 所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,故选D. 2.双曲线2x2-y2=8的实轴长是(　C　) (A)2 (B)2 (C)4 (D)4 解析:将双曲线2x2-y2=8化成标准方程为-=1,则a2=4, 所以实轴长2a=4.故选C. 3.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于(　A　) (A)- (B)-4 (C)4 (D) 解析:因为方程mx2+y2=1表示双曲线,所以m<0.将方程化为标准方程为y2-=1.则a2=1,b2=-.因为双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,所以b=2a,所以b2=4a2,所以-=4,所以m=-.故选A. 4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线的交点为(4,3),则此双曲线的方程为(　A　) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1 解析:由已知,得解得a=3,b=4.所以双曲线的方程为-=1.故选A. 5.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为(　D　) (A) (B)2 (C) (D) 解析:不妨取点M在第一象限,如图所示,设双曲线方程为 -=1(a>0,b>0), 则|BM|=|AB|=2a,∠MBx=180°-120°=60°, 所以M点的坐标为(2a,a). 因为M点在双曲线上, 所以-=1,a=b, 所以c=a,e==.故选D. 6.设F1和F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是(　B　) (A)y=±x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±x 解析:设F1(-c,0),F2(c,0),则|F1P|=, 因为F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点, 所以=2c, 所以c2+4b2=4c2, 所以c2+4(c2-a2)=4c2, 所以c2=4a2, 即c=2a,b==a, 因为双曲线的渐近线方程为y=±x, 即为y=±x,故选B. 7.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为　　　　.  解析:由题意知,a+c=,即a2+ac=c2-a2, 所以c2-ac-2a2=0,所以e2-e-2=0,解得e=2或e=-1(舍去). 答案:2 8.已知双曲线-=1(a>0,b>0),A1,A2分别是双曲线的左、右顶点,M(x0,y0)是双曲线上除两顶点外的一点,直线MA1与直线MA2的斜率之积是,则双曲线的离心率为　　　　;若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4,则双曲线的方程为　　　　　　　　　.  解析:由题意,设M(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线-=1(a>0,b>0)上一点, 则-=1,得到=, 故=, 又A1(-a,0),A2(a,0), 所以·=·===, 得=, 所以e====. 其渐近线的方程为y=±x, 即y=±x,即4x±3y=0, 设双曲线的一个焦点坐标为(c,0), 则双曲线的焦点到其渐近线的距离=4, 解得c=5, 又因为c2=a2+b2,所以a2=9,b2=16, 故双曲线的方程为-=1. 答案:　-=1 9.设F为椭圆的左焦点,A为椭圆的右顶点,B为椭圆短轴上的一个顶点,当|AB|=|FB|时,该椭圆的离心率为,将此结论类比到双曲线,得到的正确结论为(　C　) (A)设F为双曲线的左焦点,A为双曲线的右顶点,B为双曲线虚轴上的一个顶点,当|AB|=|FB|时,该双曲线的离心率为2 (B)设F为双曲线的左焦点,A为双曲线的右顶点,B为双曲线虚轴上的一个顶点,当|AB|=|FB|时,该双曲线的离心率为4 (C)设F为双曲线的左焦点,A为双曲线的右顶点,B为双曲线虚轴上的一个顶点,当|FB|=|AB|时,该双曲线的离心率为2 (D)设F为双曲线的左焦点,A为双曲线的右顶点,B为双曲线虚轴上的一个顶点,当|FB|=|AB|时,该双曲线的离心率为4 解析:对于双曲线而言,|FB|>|AB|,排除A,B.由|FB|=|AB|, 得=c⇒c2-a2=c2⇒e2==4⇒e=2,故选C. 10.设F1,F2分别是双曲