2.2 椭圆（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

2.2.2　椭圆的简单几何性质 第一课时　椭圆的简单几何性质 选题明细表 知识点、方法 题号 由椭圆方程研究性质 1 由椭圆性质求方程 3,4,7,8 椭圆的离心率 5,6,11 综合问题 2,9,10,12 1.已知椭圆C:+=1的一个焦点为(1,0),则C的离心率为(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:椭圆C:+=1的一个焦点为(1,0),可得a2-3=1,解得a=2. 所以椭圆的离心率为e==.故选B. 2.椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率为(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:由题意知a=2c,所以e===.故选A. 3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,椭圆C与圆+ y2=16交于M,N两点,且|MN|=4,则椭圆C的方程为(　D　) (A)+=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1 解析:如图所示: 因为|MD|=2,|MC|=4, 所以|CD|==2, 所以点D就是椭圆的另一个焦点, 所以2a=|MC|+|MD|=6,即a=3, 又因为c=, 所以b2=a2-c2=6, 所以椭圆的标准方程为+=1,故选D. 4.以椭圆+=1的短轴顶点为焦点,离心率e=的椭圆的标准方程为(　A　) (A)+=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1 解析:由题意得,所求椭圆的焦点坐标为(0,3),(0,-3),即c=3, e==,a=6,b2=36-9=27,焦点在y轴上,所以所求椭圆的标准方程为+=1.故选A. 5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则椭圆C的离心率为(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:由题意知,以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d==a,解得a=b,所以=,所以e=====.故选A. 6.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,①如果B为短轴的一个端点,且∠F1BF2=90°,则椭圆C的离心率为　　　 　;②若椭圆C上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆C的离心率的取值范围为　 　　　.  解析:①在椭圆中,由∠F1BF2=90°可得b=c, 所以a=c, 所以e==. ②因为椭圆C上存在点P,使得PF1⊥PF2, 所以以F1F2为直径的圆和椭圆有公共点, 所以c≥b, 所以a≤c,e=≥, 又e<1, 所以≤e<1,即椭圆离心率的取值范围为[,1). 答案:　[,1) 7.阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为20π,则椭圆C的标准方程为　　 　　.  解析:设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),则由题意可得解得a2=,b2=12, 所以椭圆C的标准方程为+=1. 答案:+=1 8.求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)经过点M(0,),N(-2,0); (2)短轴长为4,离心率为. 解:(1)因为||>|-2|, 所以所求椭圆的焦点在y轴上, 则a=,b=2, 故椭圆的标准方程为+=1. (2)依题意可得 则b=2,a=3, 当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+=1; 当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+=1. 9.我国于2007年10月24日成功发射嫦娥一号卫星,并经四次变轨飞向月球.嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆.若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m,远地点到地心的距离为n,第二次变轨后两距离分别为2m,2n(近地点是指卫星距离地面最近的点,远地点是距离地面最远的点),则第一次变轨前的椭圆的离心率与第二次变轨后的椭圆的离心率相比较(　A　) (A)没变 (B)变小 (C)变大 (D)无法确定 解析:由题意,第一次变轨前, 所以 第二次变轨后, 所以 所以=.故选A. 10.设A1,A2为椭圆+=1(a>b>0) 的左、右顶点,若在椭圆上存在异于A1,A2的点P,使得·=0,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是(　D　) (A)(0,) (B)(0,) (C)(,1) (D)(,1) 解析:A1(-a,0),A2(a,0), 设P(x,y),则=(-x,-y),=(a-x,-y), 因为·=0, 所以(a-x)(-x)+(-y)(-y)=0,y2=ax-x2>0, 所以0<x<a. 将y2=ax-x2代入+=1, 整理得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0在(0,a)上有解, 令f(x)=(b2-a2)x