第二章 圆锥曲线与方程 检测试题-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

第二章　检测试题 (时间:120分钟　满分:150分) 选题明细表 知识点、方法 题号 椭圆定义、方程及性质 3,9,11,14,17 双曲线定义、方程及性质 1,4,6,7 抛物线定义、方程及性质 2,8,21 直线与圆锥曲线的位置关系 10,12,18,20,22 圆锥曲线的综合问题 5,13,15,16,19 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.设曲线C是双曲线,则“曲线C的方程为x2-=1”是“曲线C的渐近线方程为y=±2x”的(　A　) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,而渐近线方程为y=±2x的双曲线方程不一定是x2-=1,如-=1,所以“曲线C的方程为x2-=1”是“曲线C的渐近线方程为y=±2x”的充分不必要条件.故选A. 2.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A是C上一点,若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1(O为坐标原点),则p的值为(　B　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:设点A(x,y),根据已知可得x+=2x,解得x=,|y|=p,所以S△OAF= ××p=1,解得p=2.故选B. 3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(　C　) (A)(0,1) (B)(0,] (C)(0,) (D)[,1) 解析:因为满足·=0的点M在圆x2+y2=c2上,所以圆x2+y2=c2在椭圆内部,即c<b,所以c2<b2=a2-c2,即2c2<a2,所以e2<,即e∈(0,).故选C. 4.过双曲线M:x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l.若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:由题意可知a=1,c=,故A(-1,0), 则直线l的方程为y=x+1,l与两条渐近线y=-bx和y=bx的交点分别为B(-,),C(,). 由|AB|=|BC|, 解得b=3,则c=, 故有e===.故选A. 5.若椭圆或双曲线上存在点P,使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1,则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”,下列曲线中存在“Ω点”的是(　D　) (A)+=1 (B)+=1 (C)x2-=1 (D)x2-y2=1 解析:不妨设曲线的焦点为F1,F2,假设|PF1|=2|PF2|.若是椭圆,则|PF1|+|PF2|=2|PF2|+|PF2|=3|PF2|=2a,即|PF1|=,|PF2|=;若是双曲线,则|PF1|-|PF2|=2|PF2|-|PF2|=|PF2|=2a,即|PF1|=4a,|PF2|=2a.结合选项验证,对于选项A,B,C,上述条件下的数量关系都不能保证构成三角形PF1F2,只有选项D,由于a=1,c=,所以|PF1|=4,|PF2|=2, |F1F2|=2能构成三角形.即存在“Ω点”的曲线是x2-y2=1. 6.已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点相同,若以点F为圆心,为半径的圆与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的方程为(　D　) (A)-x2=1 (B)-y2=1 (C)-=1 (D)-=1 解析:由题意设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),而抛物线y2=8x的焦点为(2,0),即F(2,0),所以4=a2+b2. 又圆F:(x-2)2+y2=2与双曲线C的渐近线y=±x相切,由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为=,所以a2=b2=2,故双曲线C的方程为-=1.故选D. 7.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别作两条渐近线的平行线,所作的这4条直线所围成的四边形的周长为12a,则该双曲线的渐近线方程为(　B　) (A)y=±x (B)y=±x (C)y=±3x (D)y=±2x 解析:设双曲线左右焦点分别为F1,F2,过焦点的渐近线的平行线交于A,B两点,如图所示, 则直线F2B的方程为y=-(x-c),即bx+ay-bc=0, 直线F1B的方程为y=(x+c), 即bx-ay+bc=0. 联立得B(0,), 同理可得A(0,-), 所以F1B===, 所以这4条直线围成的四边形周长为=12a, 即c2=3a2, 所以a2+b2=3a2, 所以=, 所以渐近线方程为y=±x.故选B. 8.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且||=2||,则直线OM的斜率的最大值为(　C　) (A) (B) (C) (D)1 解析