第三章 空间向量与立体几何 章末总结（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

章末总结 数学 网络建构 数学 知识辨析 判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”) × √ × 3.若a·b=0,则a=0或b=0.(　 　) 4.对非零向量a,b,c,若a·b=b·c,则a=c.(　 　) 5.基向量可以是零向量.(　 　) 6.空间中三个向量若有两个向量共线,则这三个向量一定共面.(　 　) 7.设{a,b,c}是空间的一个基底,对空间任一向量p,使得p=xa+yb+zc成立的有序实数组{x,y,z}是唯一的.(　 　) 1.若a∥b,b∥c,则a∥c.(　 　) × × √ √ 数学 8.若a·b<0,则<a,b>一定是钝角.(　 　) 9.设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则sin θ=cos<a,n>.(　 　) × × 数学 题型归纳 真题体验 数学 题型归纳·素养提升 题型一 空间向量与线面位置关系 [典例1] 如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD= DE=2AB,F为CD的中点.求证: (1)AF∥平面BCE; 数学 (2)平面BCE⊥平面CDE. 数学 规律方法 设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则可以归纳出如下结论: (1)线线平行:l∥m⇔a∥b⇔a=kb,k∈R. 线面平行:l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0. 面面平行:α∥β⇔u∥v⇔u=kv,k∈R. (2)线线垂直:l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0. 线面垂直:l⊥α⇔a∥u⇔a=ku,k∈R. 面面垂直:α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0. 数学 即时训练1-1:在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD= CD=2AB=2,M为PC的中点. (1)求证:BM∥平面PAD; 数学 (2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存在,确定N的位置;若不存在,请说明理由. 数学 题型二 空间向量与空间角 (1)求证:AP∥平面EFG; (1)证明:设H是AD的中点,连接EH,GH. 因为E,F,G分别是棱PD,PC,BC的中点, 所以EF∥CD,GH∥CD,所以EF∥GH, 所以E,F,G,H四点共面. 因为AP∥EH,AP⊄平面EFGH,EH⊂平面EFGH, 所以AP∥平面EFG. 数学 (2)求二面角G-EF-D的大小; 数学 数学 规律方法 (1)求两条异面直线所成角的向量方法 数学 ②设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角(如图乙、图丙). 数学 即时训练2-1:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2. (1)求证:A1C⊥平面BCDE; (1)证明:因为AC⊥BC,DE∥BC,所以DE⊥AC. 所以DE⊥A1D,DE⊥CD.又A1D∩CD=D,所以DE⊥平面A1DC, 所以DE⊥A1C. 又因为A1C⊥CD,CD∩DE=D,所以A1C⊥平面BCDE. 数学 (2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小; 数学 (3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由. 数学 题型三 用向量求距离 [典例3] 已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; 数学 (2)求直线AC到平面PEF的距离. 数学 规律方法 (1)求点面距离的向量方法 (2)线面、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离的方法进行求解. 数学 即时训练3-1:如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形, AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求点D到平面ACE的距离. 数学 题型四 易混易错辨析 1.对两向量夹角的定义理解不透彻致误 数学 2.混淆向量与实数的运算性质致误 [典例5] 已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与7a-2b垂直,求向量a,b的夹角. 数学 纠错:向量的运算性质与实数不同,若b·(2a-b)=0不一定有b=0或2a-b=0,本题在此处误当作实数运算而导致了错误. 数学 3.忽略向量的方向致误 [典例6] 已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),且a,b同向,求x,y的值. 纠错:“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件,错解中忽略了“同向”这一条件的限制,扩大了范围. 由于向量具有平移不变性,所以有关向量的平行问题与直线的平行是有区别的,并且两向量同向与两