第三章 空间向量与立体几何 检测试题-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

第三章　检测试题 (时间:120分钟　满分:150分) 选题明细表 知识点、方法 题号 空间向量的线性运算 1,12 空间向量的数量积及坐标运算 2,5,10 共线向量与共面向量 13 利用向量求空间角 4,8,9,12,18 利用空间向量求距离 7,11,14 利用空间向量证明平行、垂直 3,15,16 综合应用 6,17,19,20,21,22 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式一定为零向量的是(　C　) ①+2+2+; ②2+2+3+3+; ③++; ④-+-. (A)①② (B)②③ (C)②④ (D)①④ 解析:①中,原式=+2+=+++=+,不一定为0;②中,原式=2(+++)+(++)=0;③中,原式=≠0;④中,原式=(-)+(-)=0.故选C. 2.已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),则a·(a+3b)等于(　C　) (A)(0,34,10) (B)(-3,19,7) (C)44 (D)23 解析:a+3b=(-3,2,5)+3(1,5,-1)=(0,17,2),则a·(a+3b)=(-3,2, 5)·(0,17,2)=0+34+10=44. 3.已知平面α,β的一个法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则(　B　) (A)α⊥β (B)α∥β (C)α与β相交但不垂直 (D)以上均正确 解析:由已知得m∥n,故α∥β.故选B 4.已知a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),c=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为(　C　) (A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 解析:因为向量a+b=(-1,-2,-3)与a反向, 且|a+b|=,设a与c的夹角为θ, 则cos θ=-cos<a+b,c>=-==-,所以θ=120°. 故选C. 5.已知a=(sin θ,cos θ,tan θ),b=(cos θ,sin θ,),且 a⊥b,则θ等于(　D　) (A)- (B) (C)2kπ-(k∈Z) (D)kπ-(k∈Z) 解析:因为a·b=2sin θcos θ+1=sin 2θ+1=0,所以sin 2θ=-1,所以2θ=2kπ-(k∈Z),θ=kπ-(k∈Z).故选D. 6.以下四个命题中,正确的是(　D　) (A)向量a=(1,-1,3)与向量b=(3,-3,6)平行 (B)△ABC为直角三角形的充要条件是·=0 (C)|(a·b)c|=|a|·|b|·|c| (D)若{a,b,c}为空间的一个基底,则a-b,b-c,c-a构成空间的另一个基底 解析:因为=≠, 所以向量a=(1,-1,3)与向量b=(3,-3,6)不平行; 当△ABC为直角三角形时也可能·=0或·=0; |(a·b)c|=|a·b||c|=|a||b||cos<a,b>||c|, 所以选项A,B,C都不正确.若{a,b,c}为空间的一个基底,则a-b, b-c,c-a不共面,所以选项D正确.故选D. 7.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为(　A　) (A)a (B)a (C)a (D)a 解析:以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,), 因为点M在AC1上,且=, 设M(x,y,z), 所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z), 所以x=a,y=,z=, 得M(,,), 所以||==a.故选A. 8.已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1,则AA1=2, 所以B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2), 所以=(0,-1,1),=(0,-1,2),所以cos<,>==.故选C. 9.已知空间四个点A(1,1,1),B(-4,0,2),C(-3,-1,0),D(-1,0,4),则直线AD与平面ABC所成的角为(　C　) (A)60° (B)45° (C)30° (D)90° 解析:设m=(x,y,z)为平面ABC的法向量,=(-5,-1,1),= (-4,-2,-1),=(-2,-1,3),由题意得 则 令z=1,得x=,y=-, 所以m=(,-,1),则直线AD与平面ABC所成的角θ满足sin θ= =,又θ∈[0°,90°],所以