2.3 双曲线（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

2.3.2　双曲线的简单几何性质 数学 [目标导航] 课标要求 1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.能够利用双曲线的简单几何性质解题. 3.能区分椭圆与双曲线的性质. 素养达成 通过双曲线的简单几何性质的学习和应用,逐步提升学生的直观想象、数学抽象、数学运算等数学核心素养. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 1.双曲线的几何性质 数学 性 质 焦点 . . 焦距 . 范围 |x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 . . 轴长 实轴长= ,虚轴长= . 离心率 e= (e>1) 渐近线 . . F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 2c A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 2a 2b 数学 思考1:试用a,b表示双曲线的离心率,离心率的大小与双曲线的开口程度有关系吗? 思考2:不同的双曲线,渐近线会相同吗?具有相同渐近线的双曲线的方程有什么特点? 数学 思考3:焦点在y轴上的等轴双曲线方程是什么? 答案:焦点在y轴上的等轴双曲线方程为y2-x2=a2(a≠0). 实轴 虚轴 数学 名师点津 已知双曲线的方程讨论其几何性质时,需先看所给方程是否为标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴,找准a和b,才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.注意与椭圆的相关几何性质进行比较. 数学 题型一 课堂探究·素养提升 双曲线的简单几何性质 [例1] (10分)求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 数学 一题多变:将本例双曲线方程改为“4x2-y2=-4”,试求解. 数学 方法技巧 由双曲线的方程求几何性质的四个步骤 数学 (A)实半轴长相等 (B)虚半轴长相等 (C)离心率相等 (D)焦距相等 数学 [备用例1] 求双曲线4y2-9x2=-4 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 数学 题型二 由几何性质求双曲线的方程 数学 (2)焦距为10,实轴长是虚轴长的2倍; 数学 数学 方法技巧 数学 ⑤渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0). ⑥渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0). (2)再利用已知构造关于参数的方程(组)求得. 数学 即时训练2-1:求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)以直线2x±3y=0为渐近线,过点(1,2); 数学 数学 数学 数学 数学 数学 数学 题型三 求双曲线的离心率(范围) 答案:(1)D 数学 答案:(2)(1,3] 数学 方法技巧 数学 ②方程或不等式法: 数学 数学 数学 数学 题型四 直线与双曲线的位置关系 [例4] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试在下列条件下讨论实数k的取值范围. (1)直线l与双曲线有两个公共点; 数学 数学 (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线l与双曲线没有公共点. 数学 方法技巧 直线与双曲线位置关系的处理方法 把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元化为一元二次方程形式,在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式: (1)Δ>0时,直线与双曲线有两个公共点. (2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点. (3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点. 当二次项系数为0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点. 数学 即时训练4-1:已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为 N(-12,-15),则E的方程为(　　) 数学 数学 [备用例3] 已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1, (1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围; 数学 数学 经验分享区 数学 课堂达标 B 数学 (A)两个双曲线有公共顶点 (B)两个双曲线有公共焦点 (C)两个双曲线有公共渐近线 (D)两个双曲线的离心率相等 C 数学 3.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(　 　) C 数学 数学 数学 点击进入 课时作业 数学 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 y=±x y=±x 答案:e===.当e越大时,双曲线