2.1 曲线与方程（课件）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（人教A版）

第二章　圆锥曲线与方程 2.1　曲线与方程 2.1.1　曲线与方程 2.1.2　求曲线的方程 数学 [目标导航] 课标要求 1.了解曲线与方程的对应关系. 2.进一步领悟数形结合思想. 3.掌握求曲线方程的基本方法(直接法),了解求曲线方程的其他方法(待定系数法、定义法、参数法等). 素养达成 通过曲线与方程的学习,逐步提升学生的直观想象、数学抽象、数学运算等数学核心素养. 数学 新知导学 课堂探究 数学 新知导学·素养养成 1.曲线的方程与方程的曲线 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上 都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是 . 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线. 思考:如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是什么? 答案:f(x0,y0)=0. 点的坐标 曲线上的点 数学 (x,y) 2.求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对 表示曲线上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件p的点M的集合P= ; (3)用坐标表示条件p(M),列出方程 ; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. {M|p(M)} f(x,y)=0 数学 名师点津 (1)“曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的必要不充分条件;“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x,y)=0”的必要不充分条件. (2)从对应的角度来看:曲线与方程定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x,y)=0的解集{(x,y)|f(x,y)=0}之间的一一对应关系.如下所示: 数学 题型一 课堂探究·素养提升 曲线的方程与方程的曲线 数学 答案:③ 数学 方法技巧 解决此类问题要注意两个方面: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”,称为纯粹性. (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程. 数学 数学 (2)如果曲线C上任一点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,那么下列命题中正确的是(　　) (A)曲线C的方程为F(x,y)=0 (B)F(x,y)=0的曲线是C (C)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 (D)曲线C上的点都在方程F(x,y)=0的曲线上 解析:(2)依题意可知,曲线C上任一点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,也即曲线C上的点都在方程F(x,y)=0对应的曲线上.但是方程F(x,y)=0的解,不一定是曲线C上的点,所以A,B,C选项错误,D选项正确.故选D. 数学 [备用例1] 分析下列曲线上的点与相应方程的关系. (1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线与方程|x|=2之间的关系; (2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系; (3)第二、四象限的角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系. 解:(1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|=2的解;但以方程|x|=2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此,|x|=2不是过点A(2,0)且平行于y轴的直线的方程. (2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5;但以方程xy=5的解为坐标的点到两坐标轴的距离之积一定等于5.因此,到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=5. (3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x+y=0;反之,以方程x+y=0的解为坐标的点都在第二、四象限的角平分线上.因此,第二、四象限的角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0. 数学 题型二 由方程研究曲线 (A)一个圆和一条直线 (B)半个圆和一条直线 (C)一个圆和两条射线 (D)一个圆和一条线段 数学 数学 数学 误区警示 判断方程表示什么曲线,常需对方程进行变形,如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式,然后根据化简后的特点判断.特别注意,方程变形前后应保持等价,否则,变形后的方程表示的曲线不是原方程表示的曲线.另外,当方程中含有绝对值时,常采用分类讨论的思想. 数学 (A)直线 (B)射线 (C)线段 (D)平面区域 数学 数学 题型三 求曲线的方程 [例3] 已知圆C:x2+(y-3)2=9,过