2.6 距离的计算（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§6　距离的计算 [选题明细表] 知识点、方法 题号 点点距 1,2,4,10 点线距 3,8 点面距 6,7,9,11 线面距 5 基础巩固 1.在长方体ABCDA1B1C1D1中,若D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0), A1(4,0,3),则对角线AC1的长为(　B　) (A)9 (B) (C)5 (D)2 解析:在长方体ABCDA1B1C1D1中,D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0), A1(4,0,3),所以A1A⊥平面A1B1C1D1,C1(0,2,3), 则对角线AC1的长为=.故选B. 2.如图所示,AB=AC=BD=1,AB⫋平面α,AC⊥平面α,BD⊥AB,BD与平面α成30°角,则C,D两点间的距离为(　C　) (A)1 (B)2 (C) (D) 解析:因为=++,·=0, ·=0, ·=||·||·cos 120°=-, 所以||2=(++)2 =+++2(·+·+·) =2. 所以||=.故选C. 3.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到l的距离为(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:因为n=(1,0,-1)与直线l垂直, 所以n的单位向量n0=(,0,-). 又l经过点A(2,3,1),则=(2,0,1), 所以在n上的投影为·n0=(2,0,1)·(,0,-)=. 因此点P到l的距离为.故选B. 4.如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,向量,,两两夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于(　A　) (A)5 (B) (C)25 (D)3 解析:因为=++, 所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2· +2·=12+22+32+2×1×2×cos 60°+2×1×3×cos 60°+ 2×2×3×cos 60°=1+4+9+2+3+6=25, 所以||=5.故选A. 5.正方形ABCD与ABEF的边长都为a,若二面角EABC的大小为30°,则EF到平面ABCD的距离为　　 　　.  解析:EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离, 四边形ABCD与ABEF都是正方形,则EB⊥AB,CB⊥AB, 所以∠EBC=30°,d=BE·sin 30°=a, 所以d=a. 答案:a 6.已知单位正方体ABCDA1B1C1D1,则点A到平面BDC1的距离为 　　　　. 解析:建立如图所示的空间直角坐标系, 由题设可知B(1,1,0),C1(0,1,1). 设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z), 则即解得令y=-1, 则平面BDC1的法向量为n=(1,-1,1). 取平面BDC1内的点D(0,0,0),则=(1,0,0), 因此点A到平面BDC1的距离d==. 答案: 能力提升 7.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是　　(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则有D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0), B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1). 因为O为A1C1的中点, 所以O(,,1),=(,-,0), =(0,1,0),=(-1,0,1), 设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z), 则有即 取x=1,则n=(1,0,1), 所以O到平面ABC1D1的距离为d===.故选B. 8.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点E是AD1的中点,则点E到直线BD的距离为　 　　　.  解析:建立如图所示的空间直角坐标系. 设EF⊥BD,F为垂足,由于F的位置未确定, 设=λ(λ∈R), 则F(λ,λ,0),=(λ,λ,0). 因为=(,0,), 所以=-=(λ-,λ,-). 又⊥,=(1,1,0), 所以·=0,即(λ-)+λ=0. 解得λ=. 则=(-,,-). 所以||=,因此点E到直线BD的距离为. 答案: 9.如图,直二面角DABE中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE. (1)求证:AE⊥平面BCE; (2)求点D到平面ACE的距离. (1)证明:因为BF⊥平面ACE.所以BF⊥AE. 因为二面角DABE为直二面角,平面ABCD∩平面ABE=AB,CB⫋平面ABCD,且CB⊥AB, 所以CB⊥平面ABE. 又AE⫋平面ABE,所以CB⊥AE. 因为BF∩CB=B,BF⫋平面BCE,CB⫋平面BCE, 所以AE⊥平面BCE. (2)解