2.5 夹角的计算（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§5　夹角的计算 5.1　直线间的夹角 5.2　平面间的夹角 5.3　直线与平面的夹角 [选题明细表] 知识点、方法 题号 直线间的夹角 1,3,4,8,9 直线与平面的夹角 5,7,10 平面与平面的夹角 2,6 基础巩固 1.若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1,l2夹角的余弦值为(　B　) (A)- (B) (C)- (D) 解析:cos<a,b>===-, 则异面直线l1,l2夹角的余弦值为.故选B. 2.平面α的一个法向量为n1=(4,3,0),平面β的一个法向量为n2= (0,-3,4),则平面α与平面β夹角的余弦值为(　B　) (A)- (B) (C) (D)以上都不对 解析:cos<n1,n2>==-, 所以平面α与平面β夹角的余弦值为.故选B. 3.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,E是AA1的中点,则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为　　(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:建系如图,设AA1=2AB=2, 则B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),E(1,0,1). 所以=(0,1,0)-(0,0,2)=(0,1,-2). =(1,0,1)-(1,1,0)=(0,-1,1). 所以cos<,>===-. 即异面直线D1C与BE所成角的余弦值为.故选B. 4.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则A1E与BD所成角的余弦值为(　B　) (A) 　　　　(B) (C) 　　　　(D) 解析:如图分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),E(0,2,1),B(1,2,0),D(0,0,0), 所以=(-1,2,-1), =(-1,-2,0). 所以|cos<,>|=||==.故选B. 5.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BB1=4,则BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　A　) (A) 　　　　(B) (C) 　　　　(D) 解析:如图所示,建立空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B(2,2,0),B1(2,2,4), =(-2,2,0),=(-2,0,4),=(0,0,4). 设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z), 则得 取n=(2,2,1), 设BB1与平面ACD1所成角为θ, 则sin θ=|cos<n,>|===.故选A. 6.若分别与一个二面角的两个面平行的向量m=(-1,2,0),n=(3,0,-2),且m,n都与二面角的棱垂直,则该二面角的余弦值为　　　　　. 解析:cos<n,m>===-, 由于二面角为<n,m>或π-<n,m>, 所以二面角的余弦值为±. 答案:± 7.已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,如图所示,则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为　　　　.  解析:不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2,建立如图所示空间直角坐标系. 则C(0,0,0),A(,-1,0),B1(,1,2),D(,-,2), 则=(,-,2),=(,1,2), 设平面B1DC的法向量为n=(x,y,1), 由 解得n=(-,1,1). 又因为=(,-,-2), 所以sin θ=|cos<,n>|=. 答案: 能力提升 8.三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1的夹角等于(　C　) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 解析:不妨设AB=AC=AA1=1, 以A为原点,AB,AC,AA1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示, 则A(0,0,0),B(1,0,0),A1(0,0,1),C1(0,1,1), 所以=(-1,0,1),=(0,1,1), cos<,>===, 所以<,>=60°, 所以异面直线BA1与AC1的夹角等于60°.故选C. 9.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°. (1)求证:BD⊥平面PAC; (2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值. (1)证明:因为四边形ABCD是菱形, 所以AC⊥BD. 因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以PA⊥BD. 又因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC. (2)解:设AC∩BD=O. 因为∠BAD=60°,PA=AB=2, 所以BO=1,AO=CO=. 如图,以O为坐标原点,射线OB,O