第二章 §5 夹角的计算-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）课件PPT

第二章 空间向量与立体几何 |数学|选修2-1 (BSD) 菜 单 §5　夹角的计算 第二章 空间向量与立体几何 |数学|选修2-1 (BSD) 菜 单 [课标要求] 1.理解直线与平面所成角的概念.(重点) 2.掌握利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的求法.(重点、难点) 3.正确运用向量法求异面直线的夹角.(易错点) 第二章 空间向量与立体几何 |数学|选修2-1 (BSD) 菜 单 〈s1，s2〉 π－〈s1，s2〉 课前预习案·素养养成 一、直线间的夹角 [要点梳理] 1.如果两条直线l1与l2异面，我们就在其中一条直线如l1上任取一点A作直线AB∥l2，我们就把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2所成的角. 2.设直线l1与l2的方向向量分别是s1和s2，其夹角为θ. (1)当〈s1，s2〉∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则θ＝_________； (2)当〈s1，s2〉∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则θ＝___________. 第二章 空间向量与立体几何 |数学|选修2-1 (BSD) 菜 单 [名师解惑] 求异面直线的夹角的方法及关注点 (1)传统几何法 ①方法：解决此类问题，关键是通过平移法求解.过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解.主要以“作、证、算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围. ②关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如等腰(边)三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推论. 第二章 空间向量与立体几何 |数学|选修2-1 (BSD) 菜 单 (2)向量法 ①方法：利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角. ②关注点：求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算. 第二章 空间向量与立体几何 |数学|选修2-1 (BSD) 菜 单 [即时应用] 1.正方体ABCD ­A1B1C1D1中，O为AC，BD的交点，则C1O与A1D所成角的余弦值为 A.eq \f(1,2)　　　　 B.eq \f(\r(3),2)　　　　 C.eq \f(\r(3),3)　　　　 D.eq \f(\r(3),6) 第二章 空间向量与立体几何 |数学|选修2-1 (BSD) 菜 单 答案　D 解析　建系如图，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C1(0，1，1)， ∴eq \o(A1D,\s\up6(→))＝(－1，0，－1)，eq \o(OC1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))， cos 〈eq \o(A1D,\s\up6(→))，eq \o(OC1,\s\up6(→))〉＝eq \f(－\f(1,2),\r(2)×\f(\r(3),\r(2)))＝－eq \f(\r(3),6). 第二章 空间向量与立体几何 |数学|选修2-1 (BSD) 菜 单 直线l1与直 线l2的夹角 二、平面间的夹角 [要点梳理] 1.定义：如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R，我们把_____________叫作平面π1与π2的夹角. 第二章 空间向量与立体几何 |数学|选修2-1 (BSD) 菜 单 〈n1，n2〉 π－〈n1，n2〉 2.与平面法向量的关系 设平面π1和π2的法向量分别为n1，n2， (1)当0≤〈n1，n2〉≤eq \f(π,2)时，平面π1与π2的夹角等于___________； (2)当eq \f(π,2)＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于_____________. 第二章 空间向量与立体几何 |数学|选修2-1 (BSD) 菜 单 [名师解惑] 1.求二面角的方法 (1)几何法 ①作角：在二面角的棱上找一特殊点，在两个平面内分别作垂直于棱的射线. ②证角：证明作出的角为二面角的平面角. ③求角：把平面角放到三角形中求解. (2)向量法 设二面角α ­l­β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝eq \f(|n