2.1 从平面向量到空间向量（课时作业）-2021-2022学年高中数学选修2-1【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

§1　从平面向量到空间向量 [选题明细表] 知识点、方法 题号 空间向量的有关概念 1,2,3,4,7,8 空间向量的夹角 5,9 直线的方向向量和平面的法向量 6,10,11,12 基础巩固 1.下列说法中正确的是(　D　) (A)任意两个空间向量都可以比较大小 (B)方向不同的空间向量不能比较大小,但同向的空间向量可以比较大小 (C)空间向量的大小与方向有关 (D)空间向量的模可以比较大小 解析:任意两个空间向量,不论同向还是不同向均不存在大小关系,故A,B,C不正确;由于向量的模是一个实数,故可以比较大小.故选D. 2.对于空间任意两个非零向量a,b,“a∥b”是“<a,b>=0”的　　(　B　) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:显然,<a,b>=0⇒a∥b,a∥b包括向量a,b同向共线和反向共线两种情形(即当a∥b时,<a,b>=0或π),因此a∥b<a,b>=0.故 a∥b是<a,b>=0的必要不充分条件,故选B. 3.如图,在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,与向量相等的向量有(　B　) (A)0个 (B)3个 (C)6个 (D)9个 解析:与向量相等的向量有,,,共3个,故选B. 4.下列命题中正确的个数是(　C　) (1)如果a,b是两个单位向量,则|a|=|b|; (2)两个空间向量共线,则这两个向量方向相同; (3)若a,b,c为非零向量,且a∥b,b∥c,则a∥c; (4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:对于(1),由单位向量的定义即得|a|=|b|=1,故(1)正确;对于(2),共线不一定同向,故(2)错;对于(3),正确;对于(4),正确,在空间任取一点,过此点引两个与已知非零向量相等的向量,而这两个向量所在的直线相交于此点,两条相交直线确定一个平面,所以两个非零向量可以平移到同一平面内.故选C. 5.在正四面体ABCD中,E,F分别是AB与AD的中点,则<,>等于(　D　) (A)30° (B)45° (C)60° (D)120° 解析:因为E,F分别为AB,AD的中点, 所以EF∥BD,所以∠BDC为异面直线EF,DC所成角. 又四面体ABCD为正四面体,所以∠BDC=60°. 由向量,的方向知,<,>=120°. 故选D. 6.下列有关平面法向量的说法中,正确的是　　 　　(填写相应序号).  ①平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量; ②一个平面的所有法向量互相平行; ③如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直; ④如果a,b与平面α平行,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量. 解析:由平面法向量的定义知①②③正确,对于④当a与b共线时,n就不一定是平面α的法向量,故④错误. 答案:①②③ 7.在正方体ABCDA1B1C1D1中,以A1为起点,以正方体的其余顶点为终点的向量中,与向量垂直的向量是　　 　　.  解析:由于A1B1⊥平面BCC1B1,所以⊥; 又A1D⊥AD1,而AD1∥BC1,所以⊥.同时,⊥. 答案:,, 能力提升 8.=的一个必要不充分条件是(　C　) (A)A与C重合 (B)A与C重合,B与D重合 (C)||=|| (D)A,B,C,D四点共线 解析:向量相等只需方向相同,长度相等,而与表示向量的有向线段的起点、终点的位置无关.表示两个共线向量的两条有向线段所在的直线平行或重合,不能得到四点共线.故选C. 9.如图,三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,PA=AC,则在向量,,,,,中,夹角为90°的共有　 　　　对.  解析:因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,平面PAB⊥平面ABC. 又平面PAB∩平面ABC=AB,BC⊥AB, 所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB. 综上,<,>,<,>,<,>,<,>,<,>都为90°. 答案:5 10.如图,在长、宽、高分别为AB=5,AD=3,AA1=4的长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点中,任选两点作为起点和终点构成一个向量,在这些向量中哪些向量 (1)与向量平行; (2)与向量相反; (3)是平面ABB1A1的法向量. 解:(1)与向量平行的向量有,,,,,,,共7个. (2)与向量相反的向量有,,,,共4个. (3)平面ABB1A1的法向量有,,,,,,,,共8个. 11.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BCD= 90°,PB=,PA=PD=CD=BC=1,AD=,AB=2,E是AD的中点,试证明是平面ABCD的一个法向量,是平面PAD的一个法向量.